LeetCode 2304. 网格中的最小路径代价：DP

news2025/3/10 15:14:18

【LetMeFly】2304.网格中的最小路径代价：DP

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-path-cost-in-a-grid/

给你一个下标从 0 开始的整数矩阵 grid ，矩阵大小为 m x n ，由从 0 到 m * n - 1 的不同整数组成。你可以在此矩阵中，从一个单元格移动到 下一行 的任何其他单元格。如果你位于单元格 (x, y) ，且满足 x < m - 1 ，你可以移动到 (x + 1, 0), (x + 1, 1), ..., (x + 1, n - 1) 中的任何一个单元格。注意： 在最后一行中的单元格不能触发移动。

每次可能的移动都需要付出对应的代价，代价用一个下标从 0 开始的二维数组 moveCost 表示，该数组大小为 (m * n) x n ，其中 moveCost[i][j] 是从值为 i 的单元格移动到下一行第 j 列单元格的代价。从 grid 最后一行的单元格移动的代价可以忽略。

grid 一条路径的代价是：所有路径经过的单元格的 值之和 加上所有移动的 代价之和 。从 第一行 任意单元格出发，返回到达 最后一行 任意单元格的最小路径代价。

示例 1：

输入：grid = [[5,3],[4,0],[2,1]], moveCost = [[9,8],[1,5],[10,12],[18,6],[2,4],[14,3]]
输出：17
解释：最小代价的路径是 5 -> 0 -> 1 。
- 路径途经单元格值之和 5 + 0 + 1 = 6 。
- 从 5 移动到 0 的代价为 3 。
- 从 0 移动到 1 的代价为 8 。
路径总代价为 6 + 3 + 8 = 17 。

示例 2：

输入：grid = [[5,1,2],[4,0,3]], moveCost = [[12,10,15],[20,23,8],[21,7,1],[8,1,13],[9,10,25],[5,3,2]]
输出：6
解释：
最小代价的路径是 2 -> 3 。 
- 路径途经单元格值之和 2 + 3 = 5 。 
- 从 2 移动到 3 的代价为 1 。 
路径总代价为 5 + 1 = 6 。

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
2 <= m, n <= 50
grid 由从 0 到 m * n - 1 的不同整数组成
moveCost.length == m * n
moveCost[i].length == n
1 <= moveCost[i][j] <= 100

方法一：DP

从倒数第二行开始往第一行遍历：

对于这一行的每一个元素：
- 计算出从下一行的所有元素中来到这一行，增加值最小的那个
这个元素加上下一行来的最小增加量

最终返回第一行中的最小元素即为答案。

时间复杂度 $O(nm^2)$ ，其中 $size(grid)=n\times m$ （ $n$ 行 $m$ 列）
空间复杂度 $O (1)$

AC代码

C++

class Solution {
public:
    int minPathCost(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<int>>& moveCost) {
        int n = grid.size(), m = grid[0].size();
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                int m_ = 100000000;
                for (int k = 0; k < m; k++) {
                    m_ = min(m_, grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k]);
                }
                grid[i][j] += m_;
            }
        }
        return *min_element(grid[0].begin(), grid[0].end());
    }
};

Python

# from typing import List

class Solution:
    def minPathCost(self, grid: List[List[int]], moveCost: List[List[int]]) -> int:
        n, m = len(grid), len(grid[0])
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            for j in range(m):
                m_ = 100000000
                for k in range(m):
                    m_ = min(m_, grid[i + 1][k] + moveCost[grid[i][j]][k])
                grid[i][j] += m_
        return min(grid[0])