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算法设计与分析复习–回溯法（二）

分支界限法性质

分支界限法是按广度优先策略或最小耗费优先遍历问题的解空间树。

搜索解空间：

1. 子集树
2. 排列树

搜索方式：广度优先遍历（队列）或最小耗费优先（堆）

方法：确定解空间，设计合适的限界函数（在拓展时删除不必要的孩子结点），组织活结点表

但是由于每一层对应的cw, rw是不同的，所以需要用一个node的数据结构存储每一个节点的

装载问题

问题描述：n个集装箱要装到2艘重量分别 $c_1$, $c_2$的货轮，其中集装箱 $i$的重量为 $w_i$器满足集装箱重量之和小于两轮船载重。

最优装载方案：将第一艘船尽可能装满，将剩余的货箱装到第二搜轮船上。

约束函数：所装货物重量小于第一艘船载重
上界函数是：已装重量+剩余重量上界

使用队列的方式

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 110;

int a[N], n, c1, sum = 0, bw = 0;

struct node
{
    int idx; // 层数
    int cw;  // 当前层的重量
    int rw;  // 剩余的重量
};

void bfs()
{
    queue<node> q;
    q.push({0, 0, sum});

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        bw = max(bw, t.cw); // 更新最大重量

        // 左扩展
        if (t.idx < n && t.cw + a[t.idx] <= c1)
        {
            q.push({t.idx + 1, t.cw + a[t.idx], t.rw - a[t.idx]});
        }
        // 右扩展
        if (t.idx < n && t.cw + t.rw > bw)
        {
            q.push({t.idx + 1, t.cw, t.rw - a[t.idx]});
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &c1);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += a[i];
    }

    bfs();
    printf("%d\n", bw);
    return 0;
}

利用优先级进行查找时
我们将利用当前结点的价值上界
$$cw+rw$$
进行堆的构造
重构堆需要

priority_queue<node, vector<node>, cmp> heap;
cmp为比较函数，不过要比较符相反

例如greater是返回更大的
而构造小根堆就用greater

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 110;

int a[N], n, c1, sum = 0, bw = 0;

struct node
{
    int idx; // 层数
    int cw;  // 当前层的重量
    int rw;  // 剩余的重量
};

struct cmp
{
    bool operator ()(const node &x, const node &y) const
    {
        return (x.cw + x.cw) < (y.cw + y.rw); // 优先队列的优先级按当前上界要用更大排，这里就要是小于
    }
};


void bfs()
{
    priority_queue<node, vector<node>, cmp > heap;
    heap.push({0, 0, sum});

    while (!heap.empty())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        bw = max(bw, t.cw); // 更新最大重量

        // 左扩展
        if (t.idx < n && t.cw + a[t.idx] <= c1)
        {
            heap.push({t.idx + 1, t.cw + a[t.idx], t.rw - a[t.idx]});
        }
        // 右扩展
        if (t.idx < n && t.cw + t.rw > bw)
        {
            heap.push({t.idx + 1, t.cw, t.rw - a[t.idx]});
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &c1);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += a[i];
    }

    bfs();
    printf("%d\n", bw);
    return 0;
}

---

由于优先队列的方式更难一些所以后面实现都是优先队列的方式

0-1背包问题

求法与装载问题一样，不如说装载问题特化成了0-1背包问题

但是在右剪枝的求法上和回溯法一样
但是bound函数用法不同了，bound就是求上界的函数，并且求得是当前结点的上界

左剪枝：不超过背包容量
右剪枝：cv + rv >= bv
rv是利用贪心背包的方式求得的

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<double, double> PDD;

const int N = 110;

int n, c;
vector<PDD> ob;
double bv = 0, sv = 0; // 将bv, sv初始化为0

struct node
{
    int idx;
    double cw;
    double cv;
    double ub;
    bool operator< (const node &x) const
    {
        return ub < x.ub;//利用ub堆排序
    }
};

bool cmp(PDD x, PDD y)
{
    return (x.second / x.first) > (y.second / y.first);//贪心排序
}

double bound(node x)
{
    double rcv = x.cv, rw = c - x.cw;
    int i = x.idx;//不同于回溯法，在输入时改变i的值，因为要计算当前结点的上界
    while (i < n && ob[i].first <= rw)
    {
        rw -= ob[i].first;
        rcv += ob[i].second;
        i++;
    }
    if (i < n)
        rcv += rw * (ob[i].second / ob[i].first);
    return rcv;
}

void bfs()
{
    priority_queue<node> heap;
    heap.push({0, 0, 0, bound({0, 0, 0, 0})}); // 初始节点的上界需要计算

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        printf("{%d, %d, %.1lf}\n", (int)t.cw, (int)t.cv, t.ub);//搜索顺序可视化

        if (t.idx == n)//到达叶子结点
        {
            if (t.cv > bv)
            {
                bv = t.cv;
            }
            continue; 
        }

        if (t.cw + ob[t.idx].first <= c) // 向左走
            heap.push({t.idx + 1, t.cw + ob[t.idx].first, t.cv + ob[t.idx].second, t.ub}); 
            
        node tmp = {t.idx + 1, t.cw, t.cv, bound({t.idx + 1, t.cw, t.cv, 0})};//需要填两次，定义临时变量
        if (bound(tmp) > bv)
            heap.push(tmp); // 向右走
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &c);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        double w, v;
        scanf("%lf%lf", &w, &v);
        sv += v;
        ob.push_back({w, v});
    }

    sort(ob.begin(), ob.end(), cmp);

    bfs();
    printf("%d\n", (int)bv);

    return 0;
}

单源最短路问题

问题描述：给定一个带权有向图G = (V, E), 每条边的权值是一个正整数, 给定V中的一个顶点S，称作源点。要求：计算从源点到其他所有顶点的最短路径长度。

AcWing 850. Dijkstra求最短路 II

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e6 + 10;

int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx = 0;
int dist[N], pre[N];
vector<int> ans;
bool st[N];
int n, m;

void add (int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void traceback(int k)
{
    if (k == 0) return;
    ans.push_back(k);
    traceback(pre[k]);
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});// first表示距离， second表示节点编号，这是因为在优先队列中是优先按元祖第一个元素进行排序

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;// ver表示节点编号

        if (st[ver])continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])// 因为要遍历Ver相连的所有边i所以提前将源点到ver的最短距离记作distance, 而w[i]记录的是第i个节点到j的距离（权重）i是与ver相连的边 
            // 将与ver相连的边更新为最短路径值，j是i的下一条边是一个指针关系
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                pre[j] = ver;
                heap.push({dist[j], j});
            }

        }
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    else {
        traceback(n);
        reverse(ans.begin(), ans.end());
        puts("最短路径为：");
        for (auto i : ans)
            printf("%d ", i);
            puts("");
        return dist[n];
    }
}

int main ()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add (a, b, c);
    }
    printf("路径长度为：%d", dijkstra());

    return 0;
}

最大团问题

问题描述：给定无向图G = (V, E)。如果$U\subseteq V$， 求对任意 $u,v\in U$有$(u,v)\in E$, 则称U是G的完全子图。
最大团就是一个图含顶点数最大的完全图，且要是这个图的子集。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 110;

int g[N][N], n, m, bn;
vector<int> ans;

struct node
{
    int idx;
    int cn;
    vector<int> x;
    int un;
    bool operator< (const node &p) const{
        return un < p.un;
    }
};

bool constrain(node c)
{
    for (int i = 0; i < c.idx - 1; i ++)//这里i不能到c.idx不然就会有它自身到自身为0会返回false,
    {
        if (c.x[i] == 1 && g[c.idx][i + 1] == 0)//x的下标是从0开始，而g[i][j]的下标是从1开始，所以要进行调整
            return false;
    }
    return true;
}

void bfs()
{
    priority_queue<node> heap;
    heap.push({0, 0, {}, n});
    
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        if (t.idx == n){
            if (t.cn > bn){
                ans = t.x;
                bn = t.cn;
            }
            continue;
        }
        
        node tmp = {t.idx + 1, t.cn + 1, t.x, t.un};
        tmp.x.push_back(1);//要提前加入，否则判断是少条件
        
        if (constrain(tmp))
            heap.push(tmp);
        
        tmp = {t.idx + 1, t.cn, t.x, t.un - 1};
        tmp.x.push_back(0);
        if (tmp.un >= bn)
            heap.push(tmp);
        
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        g[a][b] = g[b][a] = 1;
    }
    
    bfs();
    printf("%d\n", bn);
    for (auto val : ans) {
        printf("%d ", val);
    }
    return 0;
}

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