53. 最大子数组和
53. 最大子数组和
题目描述：
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
解题思路：
状态表示：
dp【i】表示以i位置结尾的最大子数组的元素之和
状态转移方程：
dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i];
初始化：
dp【0】=nums【0】
填表顺序：左到右
返回值：0-n-1范围中的最大值
解题代码：
ass Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
vector<int>dp(n,0);
dp[0]=nums[0];
for(int i=1;i<n;i++)
dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i];
int ret=INT_MIN;
for(int i=0;i<n;i++)ret=max(ret,dp[i]);
return ret;
}
};918. 环形子数组的最大和
918. 环形子数组的最大和
题目描述：
给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。
环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。
子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。
解题思路：
本题与「最⼤⼦数组和」的区别在于，考虑问题的时候不仅要分析「数组内的连续区域」，还要考
虑「数组⾸尾相连」的⼀部分。结果的可能情况分为以下两种：
i.
结果在数组的内部，包括整个数组；
ii.
结果在数组⾸尾相连的⼀部分上。
其中，对于第⼀种情况，我们仅需按照「最⼤⼦数组和」的求法就可以得到结果，记为
fmax
。
对于第⼆种情况，我们可以分析⼀下：
i.
如果数组⾸尾相连的⼀部分是最⼤的数组和，那么数组中间就会空出来⼀部分；
ii.
因为数组的总和
sum
是不变的，那么中间连续的⼀部分的和⼀定是最⼩的；
因此，我们就可以得出⼀个结论，对于第⼆种情况的最⼤和，应该等于
sum - gmin
，其中
gmin
表⽰数组内的「最⼩⼦数组和」。
两种情况下的最⼤值，就是我们要的结果。
但是，由于数组内有可能全部都是负数，第⼀种情况下的结果是数组内的最⼤值（是个负数），第
⼆种情况下的
gmin == sum
，求的得结果就会是
0
。若直接求两者的最⼤值，就会是
0
。但
是实际的结果应该是数组内的最⼤值。对于这种情况，我们需要特殊判断⼀下。
由于「最⼤⼦数组和」的⽅法已经讲过，这⾥只提⼀下「最⼩⼦数组和」的求解过程，其实与「最
⼤⼦数组和」的求法是⼀致的。⽤
f
表⽰最⼤和，
g
表⽰最⼩和。
1.
状态表⽰：
g[i]
表⽰：以
i
做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值。
2.
状态转移⽅程：
g[i]
的所有可能可以分为以下两种：
i.
⼦数组的⻓度为
1
：此时
g[i] = nums[i]
；
ii.
⼦数组的⻓度⼤于
1
：此时
g[i]
应该等于 以
i - 1
做结尾的「所有⼦数组」中和的
最⼩值再加上
nums[i]
，也就是
g[i - 1] + nums[i]
。
由于我们要的是最⼩⼦数组和，因此应该是两种情况下的最⼩值，因此可得转移⽅程：
g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i])
。
3.
初始化：
可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i.
辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
ii.
下标的映射关系。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让
g[0] = 0
即可。
4.
填表顺序：
根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右」。
5.
返回值：
a.
先找到
f
表⾥⾯的最⼤值 ->
fmax
；
b.
找到
g
表⾥⾯的最⼩值 ->
gmin
；
c.
统计所有元素的和 ->
sum
；
b.
返回
sum == gmin ? fmax : max(fmax，sum-gmin)
解题代码：
class Solution {
public:
int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
if(n==1)return nums[0];
vector<int>f(n,0);
vector<int>g(n,0);
f[0]=nums[0],g[0]=nums[0];
int sum=nums[0];
for(int i=1;i<n;i++)
{
f[i]=max(f[i-1],0)+nums[i];
g[i]=min(g[i-1],0)+nums[i];
sum+=nums[i];
}
int max_num=INT_MIN;
int min_num=INT_MAX;
for(int i=0;i<n;i++)
{
max_num=max(max_num,f[i]);
min_num=min(min_num,g[i]);
}
if(sum==min_num)return max_num;
return max(max_num,sum-min_num);
}
};
