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【深度学习 | 核心概念】那些深度学习路上必经的核心概念，确定不来看看？ （一） 作者： 计算机魔术师 版本： 1.0 （ 2023.8.27 ）

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摘要： 本系列旨在普及那些深度学习路上必经的核心概念，文章内容都是博主用心学习收集所写，欢迎大家三联支持！本系列会一直更新，核心概念系列会一直更新！欢迎大家订阅

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置信区间最佳实践

在统计学和数据分析中，置信区间是一种用于估计参数真实值范围的方法。它提供了一个范围，该范围内有一定的置信度包含了参数的真实值。置信区间的计算通常基于样本数据，并依赖于统计理论和假设。

以下是一般情况下计算置信区间的步骤：

1. 收集样本数据：首先，需要从总体中收集足够的样本数据。样本应该是随机选择的，并且能够代表总体。

2. 选择置信水平：确定所需的置信水平，通常以百分比的形式表示，例如95%或99%。置信水平表示在重复抽样的情况下，置信区间将包含参数真实值的比例。

3. 选择合适的分布和统计方法：根据问题的性质和样本数据的特征，选择适当的分布和统计方法。常见的情况是使用正态分布或t分布。

4. 计算置信区间：使用选择的分布和统计方法，根据样本数据计算置信区间。具体计算的方法因问题而异，但通常基于估计的标准误差和分布的百分位数。

5. 解释结果：将计算得到的置信区间解释给使用者。例如，可以说“根据我们的样本数据，以95%的置信水平，我们估计参数的真实值在置信区间[下界，上界]之间。”

需要注意的是，置信区间是对参数真实值的估计，不是参数的确切值。置信区间给出了一个范围，我们可以合理地认为参数的真实值位于其中，但并不能确定具体的取值。

计算置信区间的方法有很多种，具体的计算步骤和公式可能因问题类型、样本分布和统计方法的选择而有所不同。在实际应用中，通常会使用统计软件或编程语言来计算置信区间，以确保准确性和效率。

当你有少量数据时，可以使用 t 分布来计算置信区间。假设你想要估计某个总体的均值，并且你有一个包含 n 个观测值的样本。以下是一个简单的例子，演示如何计算均值的置信区间。

假设你想要估计一家快餐连锁店每日销售额的均值，你随机选择了10天的销售数据作为样本。这些数据分别是：1200, 1300, 1100, 1400, 1500, 1300, 1600, 1700, 1200, 1400。

步骤：

1. 计算样本均值：将这些观测值相加，然后除以样本的大小 (n)。在这个例子中，观测值的总和是：1200 + 1300 + 1100 + 1400 + 1500 + 1300 + 1600 + 1700 + 1200 + 1400 = 14,800。样本的大小是10。所以样本均值为：14,800 / 10 = 1480。

2. 计算样本标准差：计算这些观测值的标准差，用于估计总体的标准差。在这个例子中，可以使用样本标准差来估计总体标准差。样本标准差的计算方式可以参考以下公式：

   $$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$$

   其中，$x_i$ 表示观测值，$\bar{x}$ 表示样本均值，$n$ 表示样本的大小。计算得到样本标准差为：$\sigma =247.487$。

3. 计算置信区间：选择置信水平。假设我们选择95%的置信水平，这意味着我们希望置信区间有95%的概率包含参数的真实值。

   使用 t 分布，需要确定自由度。自由度为 $n-1$，其中 $n$ 是样本的大小。在这个例子中，自由度为 $10-1=9$。

   根据 t 分布表或统计软件，找到与所选择的置信水平和自由度相对应的 t 值。对于95%的置信水平和9个自由度，t 值为 2.262。

   置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本均值 ± (t 值 * 标准误差)。（如果分布，则根据分布百分比）

   标准误差的计算公式为：标准误差 = 样本标准差 / √n。

   在这个例子中，标准误差 = 247.487 / √10 ≈ 78.27。

   因此，置信区间 = 1480 ± (2.262 * 78.27)。计算得到置信区间为 [1332.24, 1627.76]。

解释结果：根据我们的样本数据，以95%的置信水平，我们估计每日销售额的均值在1332.24到1627.76之间。

请注意，这个例子仅用于演示如何计算置信区间，实际数据分析中可能需要考虑更多的因素和技术。

独立同分布概念

独立同分布（independent and identically distributed，简称i.i.d.）是概率统计学中的一个重要概念。

独立（independent）指的是随机变量之间的关系，即一个随机变量的取值不受其他随机变量的取值影响。换句话说，给定一个随机变量的取值，不能提供有关其他随机变量取值的任何信息。例如，抛一枚硬币两次，第一次出现正面和第二次出现正面这两个事件是独立的，因为第一次出现正面的结果不会影响第二次出现正面的概率。

同分布（identically distributed）指的是多个随机变量具有相同的概率分布。换句话说，多个随机变量的取值遵循相同的概率规律。例如，从同一批产品中随机选取多个产品的重量，这些随机变量的取值遵循相同的概率分布。

因此，独立同分布（i.i.d.）的含义是指多个随机变量之间相互独立且具有相同的概率分布。在统计学和机器学习中，独立同分布假设常常被用来简化问题和建立模型。它是许多概率模型和统计推断方法的基础假设之一，使得问题可以更容易地建模和求解。

P-value假设检验

在统计学中，p-value中的"P"代表"probability"，即概率。p-value表示观察到的样本数据或更极端情况出现的概率。

在假设检验中，p-value是用于衡量观察到的样本数据对于原假设的支持程度的指标。它表示在原假设为真的情况下，观察到的样本数据或更极端情况出现的概率。

假设检验的一般步骤如下：

1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）。
2. 选择适当的统计量，根据样本数据计算统计量的观察值。
3. 基于原假设，确定统计量在原假设下的分布。
4. 计算p-value，即在原假设为真的情况下，观察到的统计量值或更极端情况出现的概率。
5. 根据p-value与事先设定的显著性水平进行比较。
   • 如果p-value小于显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，认为观察到的数据提供了足够的证据支持备择假设。
   • 如果p-value大于等于显著性水平，则无法拒绝原假设，认为观察到的数据不足以提供足够的证据支持备择假设。

p-value的计算方法与具体的假设检验方法和统计量有关。对于一些常见的假设检验方法，例如t检验和F检验，p-value可以通过查表或使用概率分布函数来计算。对于更复杂的假设检验方法，可能需要使用模拟方法（如蒙特卡洛模拟）或基于抽样分布的方法来估计p-value。

需要注意的是，p-value并不提供关于备择假设的真实性或效应大小的信息。它仅仅是一种衡量观察到数据与原假设的一致性的指标。因此，在解释p-value时，应该谨慎考虑其他因素，如实际背景知识、样本大小和效应大小等。

显著性水平（0.05）

显著性水平通常被设定为0.05（或5%）的原因是出于统计学上的传统和惯例。在假设检验中，显著性水平表示在原假设为真的情况下，我们拒绝原假设的错误概率。换句话说，它是我们犯第一类错误（拒绝一个实际上为真的假设）的概率。

将显著性水平设置为0.05有以下几个原因：

1. 常用的标准：0.05的显著性水平是在许多学科和领域中被广泛接受的标准，包括经济学、社会科学、医学研究等。这种一致性有助于结果的可比性和解释的一致性。

2. 平衡类型I和类型II错误：在假设检验中，存在两种类型的错误，即类型I错误（拒绝一个实际上为真的假设）和类型II错误（接受一个实际上为假的假设）。将显著性水平设置为0.05可以在一定程度上平衡这两种错误的风险。

3. 统计学的权衡：选择显著性水平时需要进行统计学权衡。较低的显著性水平（例如0.01）可以降低犯类型I错误的概率，但可能增加类型II错误的概率。相反，较高的显著性水平（例如0.10）可以增加类型I错误的概率，但可能降低类型II错误的概率。0.05的显著性水平在权衡这两种错误之间提供了一种较为平衡的选择。

需要注意的是，显著性水平的选择并不是绝对的，而是依赖于具体的研究领域、问题的重要性以及研究者自身的偏好。在某些情况下，可能会选择更为保守或更为宽松的显著性水平。

将显著性水平设置为0.05是出于统计学的传统和平衡类型I和类型II错误的考虑。然而，根据具体的研究需求和背景，研究者可以根据自己的判断和需要选择不同的显著性水平。

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