从耦合电感到变压器

2023年7月12日 dk

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1. 耦合电感

1.1 一个等效

通电导线的周围会产生磁场，磁场可以通过磁感线描述，磁感线的密度，即磁通密度（磁感应强度）使用字母 $B$ 表示。磁感线是闭合曲线，磁感线穿过某电流围成的面积，称为与该电流交链。一个线圈中，每一匝导线中的电流都会产生磁感线，磁感线会与产生它的电流交链，还会与其他匝导线中的电流交链。线圈的磁链，定义为线圈每一匝导线通过的磁通量之和，即与每一匝导线中的电流交链的磁感线之和。
$$\psi =\sum _{i=1}^N{\varphi }_i$$
由于空间上的关系，通过每一匝线圈的磁通量都不一样，而这样不方便分析，所以我们将线圈的磁链除以匝数，得到平均磁通量，这样通过每一匝线圈的磁通量都是相等的。这样还有一个好处，就是线圈内部没有相互交链的磁感线。需要明确的是，平均磁通量是一种等效。
$$\psi =N{\varphi }_{av}$$

线圈的电感，或者说自感，定义为线圈的磁链与通过线圈的电流的比值。
$$L=\frac{\psi }{i}\text{\hspace{1em}(1)}$$
电感，即单位电流下磁感线与电流的交链数。（电感$\to$交链数）

1.2 自感、互感与漏感

互感现象即两相邻线圈中，一个线圈通以时变电流，引起另一线圈中磁通量发生变化，进而在另一个线圈中产生感应电动势的现象。假设有两相邻线圈，线圈1匝数 $N_1$，线圈2匝数 $N_2$。
通过线圈1的一部分磁感线，与线圈2相交链，称这部分磁通为线圈2受线圈1的互磁通 ${\varphi }_{21}$，互磁通乘上线圈2的匝数得到互磁链 ${\psi }_{21}$，互磁链与线圈1电流的比值称为线圈2受线圈1的互感 $M_{21}$。
$${\psi }_{21}=N_2{\varphi }_{21}=M_{21}{i}_1\text{\hspace{1em}(2)}$$
同理有线圈1受线圈2的互感 $M_{12}$。
$${\psi }_{12}=N_1{\varphi }_{12}=M_{12}{i}_2\text{\hspace{1em}(3)}$$
需要明确，两部分磁通 ${\varphi }_{12}$ 与 ${\varphi }_{21}$ 是两个不同的东西，它们由不同的电流产生。由线圈1产生的所有磁通量 ${\varphi }_{11}$ 乘以匝数，得到线圈1的自感磁链 ${\psi }_{11}$，再除以线圈1通过的电流可以得到线圈1的自感 $L_1$ 。
$${\psi }_{11}=N_1{\varphi }_{11}=L_1{i}_1\text{\hspace{1em}(4)}$$
同理有：
$${\psi }_{22}=N_2{\varphi }_{22}=L_2{i}_1\text{\hspace{1em}(5)}$$
上面四条公式可以在所有的相关教材中找到，且一般附加 $M_{21}=M_{12}=M$ 的证明。由线圈1产生，但不与线圈2交链的磁感线，组成了漏磁通 ${\varphi }_{1\delta }$。
$${\varphi }_{11}={\varphi }_{1\delta }+{\varphi }_{21}\text{\hspace{1em}(6)}$$
同理有：
$${\varphi }_{22}={\varphi }_{2\delta }+{\varphi }_{12}\text{\hspace{1em}(7)}$$

由于两个线圈的匝数不同，相同的磁通量在两个线圈中产生的磁链不同。以 ${\varphi }_{21}$ 为例，其穿过线圈2产生的磁链为 ${\psi }_{21}$，穿过线圈1产生的磁链为 ${\psi }_{e1}$。
$${\psi }_{e1}:=N_1{\varphi }_{21}\text{\hspace{1em}(8)}$$
同理：
$${\psi }_{e2}:=N_2{\varphi }_{12}\text{\hspace{1em}(9)}$$
显然，有：
$${\psi }_{e1}=\frac{N_1}{N_2}{\psi }_{21}\text{\hspace{1em}(10)}$$
$${\psi }_{e2}=\frac{N_2}{N_1}{\psi }_{12}\text{\hspace{1em}(11)}$$
电感由磁链定义，不妨令：
$$\begin{array}{rl}{\psi }_{11}=& {\psi }_{1\delta }+{\psi }_{e1}\\ & \\ =& L_{1\delta }{i}_1+L_{e1}{i}_1=L_1{i}_1\\ & \\ =& N_1{\varphi }_{1\delta }+N_1{\varphi }_{21}=N_1{\varphi }_{11}\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
$$\begin{array}{rl}{\psi }_{22}=& {\psi }_{2\delta }+{\psi }_{e2}\\ & \\ =& L_{2\delta }{i}_2+L_{e2}{i}_2=L_2{i}_2\\ & \\ =& N_2{\varphi }_{2\delta }+N_2{\varphi }_{12}=N_2{\varphi }_{22}\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
式（10）代入式（8）与（2）得到：
$$L_{e1}=\frac{N_1}{N_2}M\text{\hspace{1em}(14)}$$
同理：
$$L_{e2}=\frac{N_2}{N_1}M\text{\hspace{1em}(15)}$$
于是：
$$L_1=L^{}$$