在讨论主瓣宽度之前，首先得了解导向矢量、波束形成、阵列方向图的概念，这些是阵列信号处理中最基础的知识。

导向矢量

图1. 均匀线性阵接收信号模型

对于均匀线阵，俯仰角$\theta$的定义域通常为$\theta \in (-90^{\circ },90^{\circ })$。设阵列参考点为$o$，即左起第一个阵元。由几何关系我们可以知道，第$m$个阵元相对于参考点的波程差为$(m-1)d\sin \theta$，因此我们可以得到第$m$个阵元相对于参考点的时延${\tau }_m$。
$${\tau }_m=\frac{(m-1)d\sin \theta }{c}$$
利用上式，均匀线阵的导向矢量可以表示为：
$$\mathbf{a}(\theta )=[1,e^{j\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }},...,e^{j\frac{2\pi (M-1)d\sin \theta }{\lambda }}{]}^T$$
在均匀线性阵中，要求相邻阵元间距$d\le \lambda /2$，否则会造成相位混叠，进而影响单脉冲测角。
由导向矢量，可以得到来波方向为$\theta$的信号$s(t)$的阵列输出为：
$$y=\mathbf{a}(\theta )s(t)$$
一个包含$M$个阵元的阵列，在$N$个快拍下，接收到的信号可以排列为一个$N\times M$的矩阵，有没有一种方法，将这$M$个阵元接收到的信号进行加权求和得到一个还是$N\times 1$的向量呢？这就是波束形成，不同的权值计算方法对应不同的波束形成。在了解波束形成之前，首先要了解阵列方向图的概念。

阵列方向图

首先要知道，方向图是一条曲线，横坐标是角度，纵坐标是强度/增益。方向图是指给定权矢量对不同角度信号的阵列响应，它表明了阵列输出与来波方向之间的关系。阵列方向图能够反映波束形成的效果，它与来波方向$\theta$有关，定义为：
$$F(\theta )=W^{H}a(\theta )$$
$$W=[w_1,w_2,\cdots ,w_M{]}^T$$
通常情况下，取模的平方，再对其做归一化处理，得到幅度方向图增益为
$$G(\theta )=\frac{|F(\theta )|}{max|F(\theta )|}$$
功率方向图增益为
$$G(\theta )=\frac{|F(\theta ){|}^2}{max|F(\theta ){|}^2}$$
通常以分贝为单位，幅度方向图为：
$$G(\theta )=10lg\frac{|F(\theta )|}{max|F(\theta )|}$$
功率方向图为：
$$G(\theta )=20lg\frac{|F(\theta )|}{max|F(\theta )|}$$
一般情况下，我们约定阵列发现方向为$0^{\circ }$，顺时针方向为正角度方向，逆时针方向为负角度方向。即$\theta \in [-90^{\circ },90^{\circ }]$。一般情况下，方向图分为两类，一是静态方向图，即为阵列输出的直接相加，其方向图的最大增益出现再阵列的法线方向，即$\theta =0^{\circ }$；二是带有指向的方向图，其信号的指向通过加权相位的控制来实现。

确知波束形成

下面以静态方向图为例，它也被称之为确知波束形成，即各个阵元信号进行均匀加权，$W=[1,1,\cdots ,1{]}^T$，
对于确知波束形成，可以得到方向图功率增益为
$$G(\theta )=\frac{1}{N^2}|\sum _{n=1}^N{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }d(n-1)sin\theta }{|}^2=|\frac{sin(\pi dNsin\theta /\lambda )}{Nsin(\pi dsin\theta /\lambda )}{|}^2$$
阵元数$M=16$，阵元间距为$1/2\lambda$的归一化功率方向图：

图1. 均匀加权ULA阵的功率增益方向图

可以看到，当权值都为1的时候，波束形成后，在0°方向形成峰值，其他方向进行了抑制。

普通波束形成

上面的确知波束形成，权重$W=[1,1,\cdots ,1{]}^T$，使得阵列在0°方向形成了最大增益，然而在实际情况中，感兴趣的目标信号不一定在法线方向。因此有必要对权值进行调整，使得对阵元接收数据进行加权求和后，主波束总指向期望信号的方向，因为方向图会进行归一化，所以这个权值没必要是大于1的幅度，我们直接取与一个复指数就$e^{j\phi }$行了。可以证明，当权重$W$等于期望方向${\theta }_0$的导向矢量时，权系数能够行号对各个阵元接收到的信号进行相位补偿，使得相加前的各阵元信号相位相同。
$$W=a({\theta }_0)$$
此时在期望方向获得的增益为：
$$F({\theta }_0)=a^H({\theta }_0)a({\theta }_0)=M$$
增益值刚好等于阵元数$M$，所以阵元数越多，获得的增益也就越强，后面我们对波束宽度的分析还可以知道，当阵元越多的时候，波束的宽度会越小，即阵列的方向性越强，空间分辨能力越强。如果把一个线阵看作是一个线性孔径的等间距采样，它等效为：阵元数越多的时候，天线的孔径越大。
使用此系数的波束形成器被称之为普通波束形成器（CBF）。
下面是一个指向10°，阵元数$M=16$，阵元间距为$1/2\lambda$的归一化功率方向图：

图2.普通波束形成ULA阵的方向图

主瓣宽度

我们除了想知道主瓣指向的角度外，还希望得到空间的分辨能力。我们定义主波束宽度为方向图功率相对最高增益下降3dB处的宽度，即为半功率增益。

确知波束形成主瓣宽度

对于确知波束形成，可以得到方向图功率增益为
$$G(\theta )=\frac{1}{N^2}|\sum _{n=1}^N{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }d(n-1)sin\theta }{|}^2=|\frac{sin(\pi dNsin\theta /\lambda )}{Nsin(\pi dsin\theta /\lambda )}{|}^2$$
根据主波束宽度的定义，

$$G(\theta )=|\frac{sin(\pi dNsin{\theta }_{0.5}/\lambda )}{Nsin(\pi dsin{\theta }_{0.5}/\lambda )}{|}^2=0.5$$
通常主波束很窄，$|{\theta }_{0.5}|$非常小，因此$sin(\pi dsin{\theta }_{0.5}/\lambda )\approx \pi dsin{\theta }_{0.5}/\lambda$，因此可以将上式化为：
$$\frac{sin(\pi dNsin{\theta }_{0.5}/\lambda )}{N\pi dsin{\theta }_{0.5}/\lambda }=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
上式近似为sinc函数，由此可以得到
$$\frac{N\pi dsin{\theta }_{0.5}}{\lambda }=1.39$$
有
$$sin{\theta }_{0.5}=\frac{1.39\lambda }{N\pi d}$$
又有$sin{\theta }_{0.5}\approx {\theta }_{0.5}$，得到
$${\theta }_{0.5}=\frac{1.39\lambda }{N\pi d}(rad)=\frac{1.39\times 180\lambda }{{\pi }^{2}Nd}{(}^{\circ })\approx \frac{25.35\lambda }{Nd}{(}^{\circ })$$
要注意的是，主瓣宽度是两倍的主波束最大角度，如下图所示：

图3.主瓣宽度示意图

可以求得主波束宽度为：
$$\theta mb=2{\theta }_{0.5}=\frac{25.35\times 2\lambda }{Nd}{(}^{\circ })=\frac{50.7\lambda }{Nd}{(}^{\circ })$$
对于常见的阵列结构，阵元间距$d=1/2\lambda$的情况下，可以得到主波束宽度为：
$$\theta mb=2{\theta }_{0.5}=\frac{25.35\times 2\lambda }{Nd}{(}^{\circ })=\frac{50.7\lambda }{N1/2\lambda }{(}^{\circ })=\frac{101.4}{N}{(}^{\circ })$$

普通波束形成主瓣宽度

普通波束形成的情况下，波束指向期望方向，这时，主瓣宽度相对于确知波束形成而言相对较大，我们也可以将确知波束形成当作是普通波束形成的一种特例，即波束指向0°时为确知波束形成，当指向其他的期望方向时为普通波束形成。当天线阵列在进行扫描时，波束就会偏离法线方向，假设波束指向偏离法线方向的角度为${\theta }_{\Delta }$，此时阵列在空间上有效的接收信号的孔径为$Ndcos{\theta }_{\Delta }$，经推导可以得到主波束的宽度为：
$${\theta }_{mbs}=\frac{\theta mb}{cos{\theta }_{\Delta }}=\frac{50.7\lambda }{Ndcos{\theta }_{\Delta }}{(}^{\circ })$$
对于常见的阵列结构，阵元间距$d=1/2\lambda$的情况下，可以得到主波束宽度为：
$$\theta mbs=2{\theta }_{0.5}=\frac{50.7\lambda }{N1/2\lambda cos{\theta }_{\Delta }}{(}^{\circ })=\frac{101.4}{Ncos{\theta }_{\Delta }}{(}^{\circ })$$
下面是一些常见的实例：
波束指向0°的时候，阵元数为16，主波束宽度为6.34°
波束指向5°的时候，阵元数为16，主波束宽度为6.36°
波束指向0°的时候，阵元数为8，主波束宽度为12.68°
波束指向5°的时候，阵元数为8，主波束宽度为12.72°