1 概述

傅里叶分析是信号分析中常用方法之一。傅里叶分析可将信号在时域和频域之间进行转换，从而分析信号在频域上的特点。

傅里叶分析（Fourier analysis）根据信号的时域数据特征，分为 4 个类别：

• 傅里叶级数（Fourier series，FS）：周期连续信号
• 傅里叶变换（Fourier transform，FT）：非周期连续信号
• 离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）：周期离散信号
• 离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）：非周期离散信号

2 傅里叶级数

傅里叶级数描述了将周期函数（其周期为 T）转换为若干个三角函数之和的方法。被转换的周期函数在单个周期内允许存在有限个间断点（如方波函数）。

傅里叶级数的最基本表示方法为若干正弦、余弦函数的和，即正弦-余弦形式：

其中，各项系数的取值为：

通过三角函数变换，傅里叶级数也可表示为幅值-相位形式：

幅值-相位形式和正弦-余弦形式的系数关系为：

将周期函数转换为傅里叶级数的方法也称为谐波分析（harmonic analysis），每个级数项根据 n 取值称为 n 次谐波（harmonics）。理论上，周期函数包含无穷多谐波，实际应用中通常只取前若干次谐波截断近似。截断的谐波次数越高，则越接近原始函数。

周期函数的频谱特征为：

• 一次谐波频率（基频）为 1/T
• n次谐波频率为 n/T，为基频的整数倍
• 可能存在 0 幅值的谐波
• 幅值非 0 的谐波，次数越高，幅值越小

如图为方波的谐波叠加结果对比及其频谱分布。

方波的偶数次谐波（二次谐波、四次谐波等）幅值为 0，奇数次谐波（一次谐波、三次谐波等）幅值为基频幅值的 1/n。

正弦-余弦形式的傅里叶级数可根据欧拉公式改写成指数形式。

欧拉公式

傅里叶级数（指数形式）

指数形式和正弦-余弦形式的系数关系为：

3 傅里叶变换

傅里叶变换为傅里叶级数针对非周期函数的扩展。

非周期函数为周期趋近于无穷大的极限状态，此时基频 1/T 趋近于 0，频谱从离散点 n/T 变成连续函数。在数学处理中，傅里叶级数的求和操作变成傅里叶变换的求积分操作。

傅里叶变换为时域到频域的变换，其变换结果为频谱函数。

傅里叶变换计算公式为：

傅里叶逆变换为频域到时域的变换。傅里叶逆变换计算公式为：

比较指数形式傅里叶级数和傅里叶公式，在 T 趋向于无穷大时：

• 频谱的频率取值从离散点 n/T 变成连续变量 ξ
• 傅里叶级数的系数从离散数值 Cn 变成连续函数 F(ξ) 

非周期函数的傅里叶变换（图源：sporring.github.io）

4 重要问题

4.1 复信号的频谱

物理意义的频率定义为单位时间内的重复次数，其取值必然为正数，不存在负频率的情况。

对于多个互相关联的信号，可将其进行组合以方便分析和处理，典型应用场景如波干涉分析等需要考虑信号相位影响的问题。一种常用方法为将信号表示为 z=f(t)+i*g(t) 的复函数形式。

复信号有实部和虚部两个自变量，为三维空间的函数。在三维空间中，定义旋转方向需要满足右手螺旋法则，负的角速度旋转方向与右手螺旋法则相反。根据角速度与频率之间的数量关系，可得到负频率。物理意义上的频率定义，其实际为负频率的绝对值。

频率符号对复信号的影响（图源：dsp.stackexchange.com）

频域函数 F(ξ) 为复函数，即存在复频率。复频率表示了频率的相位。

复频率及其相位图示（图源：eetimes.com）

若 f(t) 是纯实数的函数，其傅里叶变换后的频域函数 F(ξ) 为偶函数，其频谱的幅值相对 0 Hz 对称，对频谱特征可仅分析正频率部分。

4.2 信号强度比较

信号在不同频率的强度差异可能跨数个数量级，难以直接比较或分析差异。工程应用中，也需要考虑信号之间的强度比例问题（如传感器信噪比），而不仅是信号强度本身。

为此，引入单位贝尔（B）来表征信号强度之间数量级关系。实际工程中通常采用分贝（dB），其换算为 1 dB = 0.1 B。

若比较标准为功率或与之成相关的物理量（如光强度、声强度等），dB 的数值计算公式为：

若比较标准为与功率的平方根成比例的物理量（如速度、电流、电压等），dB 的数值计算公式为：

上述算式中，p1 和 f1 为实际信号的物理量，p0 和 f0 为参考基准值。由于 dB 定义基于对数比例，因而不满足线性叠加关系。

各 dB 数值对应的比例值（图源：维基百科）