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 * @poject          经验模态分解及其衍生算法的研究及其在语音信号处理中的应用
 * @file            傅里叶变换与小波变换
 * @author			jUicE_g2R(qq:3406291309)
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 * @language        MATLAB
 * @EDA				Base on matlabR2022b
 * @editor			Obsidian（黑曜石笔记软件）
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 * @copyright		2023
 * @COPYRIGHT	    原创学习笔记：转载需获得博主本人同意，且需标明转载源
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• $EMD$ 是 基于 傅里叶变换 与 小波变换 的改进
• $EMD$ 与 离散小波变换 产生的背景是 基于解决 傅里叶变换 与 小波变换 在 时间尺度 上存在的缺陷

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1 傅里叶变换与短时傅里叶变换

1-1 （传统的）傅里叶变换

• 傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将 时域上的信号转换到频域上 的数学工具

1-1-1 优点

优点	详细说明
可时频转换	傅里叶变换可以将时域上的信号转换为频域上的信号，便于对信号的频率特征进行分析和处理
可分解	傅里叶变换可以将信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数，这些分量可以提供有关信号频率和振幅的信息
线性性	傅里叶变换具有线性性，可以对多个信号进行叠加处理
可逆性	可以将频率域上的信号转换回时域上的信号

1-1-2 缺陷

缺陷	详细说明
实时性差	傅里叶变换是一种理论分析工具，不适合对信号进行实时处理，因此需要使用快速傅里叶变换（FFT）等算法来加速计算
普适性差	傅里叶变换需要将整个信号在时间上进行全局分析，计算复杂度较高，不适合对长时间信号进行处理
局部性差	傅里叶变换对信号的局部特征无法进行分析，对于非周期性信号和突发性信号的频谱分析效果较差
处理特殊情况效果差	傅里叶变换对于非线性信号、带噪声信号等情况处理效果较差

• 傅里叶变换 是 对 一段信号 不分时间先后 来观察其中的频率成分 及 各个频率成分的贡献，即没有时间分辨率（不可通过傅里叶变换知道一个特定时间点的频率成分）

1-2 短时傅里叶变换

• 短时傅里叶变换 是 基于 （传统的）傅里叶变换 中 时间分辨率的缺陷 给出了相应的改进方法

短时：即将 长段信号源 拆分成 多段 短的信号源（但是 窗口大小是固定的【固定窗长】，这也是它的缺陷）

Ts = 0:0.001:2; 						% 采样频率1000次每秒，时长为2s
%% 两个源信号用的是扫频函数chirp()
Sig_Low2High = chirp(Ts, 50, 2, 300); 	% 低频到高频：从 50Hz  线性升至 300Hz
Sig_High2Low = chirp(Ts, 300, 2, 50);	% 高频到地频：从 300Hz 线性升至 50Hz

1-3 信号的频谱图和时频图实验

步骤：

1-3-1 打开 信号分析器APP

1-3-2 面板设置

1-3-3 拖入信号

1-3-4 设置 采样率$SampleRate$

注：两个信号要分别修改对应的 $SampleRate$

1-3-5 对每个面板选中相应的信号

1-3-6 选中面板并点击上方工具栏的频谱获得相应的频谱图

• 分析上述频谱图
  左面板是 高频 到 低频，右面板是 低频 到 高频：
  两边的频谱图是一模一样的，一个原因是两个信号都是扫频函数（频率线性变化），另一个是频谱工具箱得到的频谱图是通过 傅里叶变换 得到的（傅里叶变换是全局的，两个全局确实一样，但局部不一样）

• 选中面板并点击上方工具栏的时谱获得相应的时谱图
  
  时频图是根据 短时傅里叶变换 得到的，很明显的可以看到两个信号的区别，同时体现了 短时傅里叶变换 具有 时间与频率的分辨率。

1-3-7 结论

傅里叶变换 相较于 短时傅里叶变换 存在明显的 时频分辨率 上的差异

2 离散小波变换

• 在 频域 上来看，离散小波变换 相当于一个 带通滤波器，相当于通过 尺度因子 与 平移因子

因子	作用
尺度因子	控制 小波基 的 伸展程度（控制 频率）
平移因子	控制 时间

• 较 短时傅里叶变换 而言，离散小波变换 具有平衡 频率分辨率 与 时间分辨率 的优势

2-1 尺度因子

• 小波母函数
  $CentFreq(中心频率)=ScaleFactor(尺度因子)\ast f$

2-2 平移因子

• 能使得 时间和频率之间 达到 平衡
  离散小波变换 是 对 短时傅里叶变换 在 固定窗长 这一特性出现 “低频精度不高，高频分辨率太低” 缺陷的一种解决办法。

• $C(常数)=WdnLen(窗长)\ast f$
  高频时：具有很高的 时间分辨率，窗长小
  低频时：具有很高的 频率精度，窗长大

本节参考视频源：NO.11 两步搞定经验模态分解与离散小波变换-哔哩哔哩