198.打家劫舍

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你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

• 示例 1：
• 输入：[1,2,3,1]
• 输出：4

解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。   偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

• 示例 2：
• 输入：[2,7,9,3,1]
• 输出：12 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。   偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

• 0 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

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要解决这个问题，我们可以创建一个数组来存储到每个房屋为止可以偷窃到的最大金额。对于数组中的每个元素 dp[i]，有两个选择：要么偷前一个房屋 dp[i-1]，要么偷这个房屋加上前前一个房屋的金额 nums[i] + dp[i-2]。我们取这两个选择中的最大值作为 dp[i] 的值。

状态转移方程可以写成这样：

dp[i] = max(dp[i-1], nums[i] + dp[i-2])

初始条件是：

• dp[0] = nums[0]（只有一个房子，则偷这个房子）
• dp[1] = max(nums[0], nums[1])（两个房子，则偷金额较大的那个）

最终答案就是 dp[n-1]，其中 n 是数组的长度。

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:  # 如果没有房屋，返回0
            return 0
        if len(nums) == 1:  # 如果只有一个房屋，返回其金额
            return nums[0]

        # 创建一个动态规划数组，用于存储最大金额
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]  # 将dp的第一个元素设置为第一个房屋的金额
        dp[1] = max(nums[0], nums[1])  # 将dp的第二个元素设置为第一二个房屋中的金额较大者

        # 遍历剩余的房屋
        for i in range(2, len(nums)):
            # 对于每个房屋，选择抢劫当前房屋和抢劫前一个房屋的最大金额
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])

        return dp[-1]  # 返回最后一个房屋中可抢劫的最大金额

 

213.打家劫舍II

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你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

• 输入：nums = [2,3,2]

• 输出：3

• 解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

• 示例 2：

• 输入：nums = [1,2,3,1]

• 输出：4

• 解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

• 示例 3：

• 输入：nums = [0]

• 输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 1000

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        
        result1 = self.robRange(nums, 0, len(nums) - 2)  # 情况二
        result2 = self.robRange(nums, 1, len(nums) - 1)  # 情况三
        return max(result1, result2)
    # 198.打家劫舍的逻辑
    def robRange(self, nums: List[int], start: int, end: int) -> int:
        if end == start:
            return nums[start]
        
        prev_max = nums[start]
        curr_max = max(nums[start], nums[start + 1])
        
        for i in range(start + 2, end + 1):
            temp = curr_max
            curr_max = max(prev_max + nums[i], curr_max)
            prev_max = temp
        
        return curr_max

337.打家劫舍 III

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在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

解题关键在于考虑偷与不偷当前节点时的最大值，需要计算两种情况：

1. 偷当前节点，那么就不能偷它的子节点。
2. 不偷当前节点，那么可以偷它的子节点。

对于二叉树上的每一个节点，我们都保持它偷与不偷的最大值。在Python中，这可以通过使用递归函数实现，它返回一个包含两个元素的元组，分别代表不偷当前节点时的最大值和偷当前节点时的最大值。

以下是Python代码示例，这段代码解决了这个问题：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def rob(root):
    def dfs(node):
        if not node:
            return (0, 0)
        left = dfs(node.left)
        right = dfs(node.right)
        # 不偷当前节点，左右子节点可以偷或不偷，取各自最大值
        rob_no = max(left) + max(right)
        # 偷当前节点，左右子节点都不能偷
        rob_yes = node.val + left[0] + right[0]
        return (rob_no, rob_yes)
    
    return max(dfs(root))

# 假设有一棵树，你可以这样调用函数：
# root = TreeNode(3)
# root.left = TreeNode(2)
# root.right = TreeNode(3)
# root.left.right = TreeNode(3)
# root.right.right = TreeNode(1)
# print(rob(root))

在这段代码中，dfs是一个递归函数，它对二叉树进行深度优先搜索。它返回的元组的第一个元素表示不偷当前节点时，从该节点开始的子树能偷到的最大金额；第二个元素表示偷当前节点时，从该节点开始的子树能偷到的最大金额。最终，rob函数返回从根节点出发能偷到的最大金额。