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多任务学习 (Multi-task Learning, MTL) 是一种同时学习多个相关问题的方法，它通过利用这些问题之间的相关性来进行学习。

在单任务学习 (Single-Task Learning, STL) 中，每个任务有一个独立的模型，这些模型分别学习不同的任务。这里，每个任务（Task 1, Task 2, Task 3, Task 4）都有它自己的输入和独立的神经网络模型。这些模型不会共享学习到的特征或表示，它们是完全独立的。

在多任务学习中，一个单一的模型共同学习多个任务。模型共享输入层和可能还有一些隐藏层，但在最后，可以有特定于任务的输出层。通过这种方式，模型可以学习到在多个任务间共通的、有用的表示，这可以提升模型在各个任务上的性能，特别是当这些任务相关时。多任务学习还有助于提高数据利用率和学习效率，因为相同的数据和模型参数被用来解决多个问题。

这幅图用来说明的关键点是，在多任务学习中，我们期望通过任务之间的相关性来提升性能，而在单任务学习中，每个任务都是孤立地学习，无法从其他任务中学习到的信息中受益。

当任务彼此独立时，多任务学习与单任务学习相比并无优势。

对于数据不足的问题，当有多个相关任务且每个任务的训练样本有限时，多任务学习是一个很好的解决方案。

设定有$m$个学习任务 { T i } i = 1 m \{T_i\}_{i=1}^m {Ti​}i=1m​，其中所有任务或其子集彼此相关，多任务学习旨在通过使用$m$个任务中包含的知识来帮助提高模型对${\mathcal{T}}_i$的学习。任务${\mathcal{T}}_i$伴随着一个训练集 D i = { x j i , y j i } j = 1 n i D_i = \{ x_j^i, y_j^i \}_{j=1}^{n_i} Di​={xji​,yji​}j=1ni​​。

我们的任务是为 { T i } i = 1 m \{T_i\}_{i=1}^m {Ti​}i=1m​学习假设。

在MTL中，我们考虑线性假设函数，表示为 $h(x)=w^{T}x$。对于 $m$ 个不同但相关的任务，即 { T i } i = 1 m \{T_i\}^m_{i=1} {Ti​}i=1m​，我们定义 $w^i$ 为第 $i$ 个任务的假设，其中 $i=1,\dots ,m$。

MTL的经验风险最小化算法表示为：

$$\underset{W=[w^1,\dots ,w^m]}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (x_j^i,y_j^i,w^i)$$

MTL模型通常由两个主要组件组成：参数共享和特征变换。参数共享是指在多个任务间共享模型参数，这样可以使不同任务互相借鉴彼此的信息，从而提高学习效率。特征变换则是指对输入数据进行变换，以找到一个更适合所有任务的表示方式。

基于参数的MTL模型 (Parameter-based MTL Models)

在这种方法中，我们考虑多个相关的任务，并且假设每个任务的假设$w^i$可以表示为一个共同的基础参数$w_0$加上一个特定任务的偏差$\Delta w^i$。这个模型的形式化为：

$$\underset{w_0,\Delta W=[\Delta w^1,\dots ,\Delta w^m]}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (x_j^i,y_j^i,w_0+\Delta w^i)$$

这里的$\ell$是损失函数，$x_j^i$和$y_j^i$是第$i$个任务的第$j$个训练样本及其标签。

这样，第$i$个任务的模型参数可以表示为$w^i=w_0+\Delta w^i$。全局参数$w_0$捕获了所有任务之间的共性，而$\Delta w^i$则捕获了任务特有的特性。我们的优化目标是最小化所有任务的总损失，同时尽可能地使得各任务参数相互接近，这通常通过添加一个正则化项$\Vert \Delta W{\Vert }_F^2$来实现：

$$\underset{w_0,\Delta W=[\Delta w^1,\dots ,\Delta w^m]}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (x_j^i,y_j^i,w_0+\Delta w^i)+\lambda \Vert \Delta W{\Vert }_F^2$$

这个模型更好，因为它鼓励多任务学习算法具有更强的相关性。

另一个模型使用秩约束：

$$\underset{W=[w^1,\dots ,w^m]}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (x_j^i,y_j^i,w^i)+\lambda \text{ rank}(W)$$

基于特征的MTL模型 (Feature-based MTL Models)

在基于特征的MTL模型中，假设是从训练样例中学到的：

给定一组数据 D i = { x j i , y j i } j = 1 n i \mathcal{D}_i = \{ x_j^{i}, y_j^{i} \}_{j=1}^{n_i} Di​={xji​,yji​}j=1ni​​，

我们希望通过特征映射使得任务之间更加相关。即，我们希望找到一个投影矩阵$P$，使得${\mathcal{D}}_i$变换为 D i = { P T x j i , y j i } j = 1 n i \mathcal{D}_i = \{ P^T x_j^{i}, y_j^{i} \}_{j=1}^{n_i} Di​={PTxji​,yji​}j=1ni​​

基于特征的MTL模型 I：

$$\underset{W,P}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (P^T{x}_j^i,y_j^i,w^i)+\lambda \text{rank}(W)\text{ s.t. }P{P}^T=I$$

这个损失函数计算的是映射后的特征与目标值之间的误差，并加入了正则化项以控制权重矩阵W的复杂度。损失函数以 $\ell (P^T{x}_i^j,y_i^j,w^i)$ 表示，$x_i^j$ 是第i个任务的第j个样本的特征，$y_i^j$ 是对应的目标值，$w^i$ 是第i个任务的权重向量，$P$ 是一个投影矩阵，使得通过$P^T{x}_j^i$变换后的特征可以更好地为多个任务服务。

$\lambda$ 是正则化项的权重，$\text{rank}(W)$ 是权重矩阵的秩，用于控制模型的复杂度。

基于特征的MTL模型 II：

这是一个共享隐藏层的神经网络架构，其中隐藏层的节点可以被看作是特征提取器。

对应的优化问题考虑了一个共享参数 $w_0$ 和针对每个任务的调整参数 $\Delta w_i$。

这个模型的目标是最小化包含共享参数和任务特定调整的损失函数，并通过 $\lambda ||\Delta W|{|}_F^2$ 正则化每个任务的参数调整量。

隐藏层对于所有任务来说是共享的，这意味着模型可以学习通用的特征表示，而输出层则是特定于任务的。

基于特征和参数的MTL模型 (Feature- and Parameter-based MTL Models)

$$\underset{w_0,\Delta W,P}{\min }\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}\ell (P^T{x}_j^i,y_j^i,w_0+\Delta w^i)+\lambda \Vert \Delta W{\Vert }_F^2\text{ s.t. }P{P}^T=I$$

该模型旨在找到一个跨任务共享的特征投影（$P$）和一组针对所有任务优化的参数（$w_0$ 和 $\Delta W$）。

• 目标函数: ${\min }_{w_0,\Delta W,P}$ 表示我们的目标是最小化关于 $w_0$（共享参数）、$\Delta W$（任务特定参数变化）和 $P$（特征投影矩阵）的某个函数。

• 任务平均: $\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m$ 表示我们考虑 $m$ 个不同的任务，并对这些任务的结果取平均。

• 任务内平均**: 对于每个任务 $i$，$\frac{1}{n_i}{\sum }_{j=1}^{n_i}$ 用于对该任务中的 $n_i$ 个样本进行平均。

• 损失函数: $\ell (P^T{x}_j^i,y_j^i,w_0+\Delta w^i)$ 是损失函数，用于量化模型预测 $P^T{x}_j^i$（经过特征转换的输入）和真实标签 $y_j^i$ 之间的差异，同时考虑共享参数 $w_0$ 和任务特定参数的调整 $\Delta w^i$。

• 正则化项: $\lambda \Vert \Delta W{\Vert }_F^2$ 是正则化项，用于防止过拟合。它通过控制任务特定参数变化的大小（使用Frobenius范数）来实现。

• 约束条件: $P{P}^T=I$ 是一个约束条件，确保投影矩阵 $P$ 是正交的。这有助于保持映射后的特征间的独立性。