不定积分第一类换元法（凑微分法）

news2024/11/26 15:42:09

\int q(x)dx 将其中的 q(x) 分解为 \int f[g(x)]\cdot g(x)^{'}dx

相当于

q(x) = f[g(x)]\cdot g(x)^{'}

令  g(x) = u  那么. du = d[g(x)] = g(x)^{'}dx  就可以得到

\int f(u)du = F(u) +C = F[g(x)] + C

例题1
 \int x\sqrt{x^2 - 1} dx 

令

 t = x^2 - 1 

那么 

dt = d[x^2 - 1]= (x^2 - 1)^{'} dx

因为

 x \sqrt{x^2 - 1} = f[x^2 - 1] (x^2-1)^{'} 

(x^2-1)^{'} = 2x

所以

f[x^2-1] = \frac{1}{2} \sqrt{x^2-1}

\int f(t) dt = \int \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - 1} d(x^2 - 1)

利用基本积分公式

\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C

结果

\int \frac{1}{2}t^{\frac{1}{2}}dt = \frac{1}{3}t^{\frac{3}{2}}+C

\int \frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C

例题2

\int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} dx

上下同除  t^2

\int \frac{1 + t^{-2}}{t^2 + t^{-2}}dx

接下来需要一些技巧

\therefore t^2+\frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 \\ \because \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t-\frac{1}{t})^{2}+2}dx

u = t-\frac{1}{t}

du = d[t - \frac{1}{t}] = (t - \frac{1}{t})^{'}dt 

\therefore \int \frac{1}{(t-\frac{1}{t})^{2} + 2} d(t - \frac{1}{t})

这个形式需要联想到一个基本积分公式

\int \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \arctan{x} + C

不巧是这里是2不是1需要利用技巧把2变成1

\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}})^2 + 1} \cdot \sqrt{2} d(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}})

\therefore \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}) + C

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