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这里写目录标题
- 1. 前言
- 2. 二叉搜索树的概念以及定义
- 3. 二叉搜索树的性质
- 4. 二叉搜索树模拟实现
- 5. 二叉搜索树的插入操作
- 6. 二叉搜索树的删除分析(一)
- 7. 二叉搜索树的删除分析(二)
- 8. 总结以及拓展
1. 前言
从本篇文章开始正式进入C++高阶
的学习,C++高阶主要包括二叉搜索树
,AVL树,红黑树,哈希等高阶数据结构,
以及C++11和智能指针,抛异常等等.
高阶的内容往往是与普通人拉开差距的
内容,请同学们耐心学习!
本章重点:
本篇文章着重讲解二叉搜索树的概念
以及定义,以及二叉搜索树的模拟实现!
最后拓展讲解二叉搜索树的应用场景.
2. 二叉搜索树的概念以及定义
二叉搜索树又称二叉排序树
它或者是一棵空树
或者是具有以下性质的二叉树:
-
若它的左子树不为空,则左子树的
所有节点的值都小于根节点的值 -
若它的右子树不为空,则右子树的
所有节点的值都大于根节点的值 -
它的左右子树也分别为二叉搜索树
比如:
3. 二叉搜索树的性质
首先,二叉搜索树是有序的!
它的中序遍历出来就是一个有序的序列
上面的图片中,中序遍历出来如下
[1,3,4,6,7,8,10,14,13] 有序序列
其次,二叉搜索树只支持增删查,并不
支持改,因为随意修改会导致这棵树
可能不满足二叉搜索树的条件,比如
将上图中的14改为9,它就不是二叉
搜索树了,这一点很好理解!
一点小细节,二叉搜索树中不能出现
值相同的节点,若插入时出现值相同的
节点就直接返回false,插入失败!
4. 二叉搜索树模拟实现
我们先把基本的框架搭建一下:
template<class K>
struct BSTreeNode //二叉搜索树封装的节点信息
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{ }
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
private:
Node* _root = nullptr;
}
对代码的解释:
基本框架比较容易,就是套一层
结构体后使用root,不多解释!
5. 二叉搜索树的插入操作
插入函数是最容易实现的,插入的
值比较大就往右走,比较小就往左走
如果遇见和插入值相同的值,返回false!
bool insert(const K& key)//左小右大
{
if (_root == nullptr)//第一次插入时的操作
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* prev = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key < key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key == key)
return false;
}
cur = new Node(key);
if (prev->_key > key)
prev->_left = cur;
else
prev->_right = cur;
return true;
}
对代码的解释:
定义prev的意义是最后cur找到自己的
位置后,要把cur和它的父亲链接起来,
prev起到一个连接作用!最后一步代码
在判断cur是prev的左孩子还是右孩子
6. 二叉搜索树的删除分析(一)
搜索树的删除操作较为复杂
先分析前三种比较简单的情况
我们一步一步来分析:
被删除的节点无孩子
这种情况是最简单的,直接将此
节点删除了即可,不用做特殊处理!
被删除的节点只有左孩子
此节点被删除后,将此节点的左孩子
连接到此节点的父亲节点即可!
3. 被删除的节点只有右孩子
此节点被删除后,将此节点的右孩子
连接到此节点的父亲节点即可!
前三种情况的代码比较容易,直接上菜!
bool erase(const K& key)//非递归版本
{
Node* prev = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)//先找到此节点再删除
{
if (cur->_key < key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else//找到了此节点后,开始删除
{
//1. 左边为空
//2. 右边为空
//3. 左右都不为空
if (cur->_left == nullptr)//左孩子为空情况
{
if (cur == _root)
_root = cur->_right;
else
{
if (cur == prev->_left)
prev->_left = cur->_right;
else
prev->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)//右孩子为空情况
{
if (cur == _root)
_root = cur->_left;
else
{
if (cur == prev->_left)
prev->_left = cur->_left;
else
prev->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
}
对代码的解释:
看似只写了两种情况,其实把左右都为
空的情况也给算进去了!
7. 二叉搜索树的删除分析(二)
当被删除的节点存在左右孩子时,
此时不再是简单的指向问题了,
这里我使用的是一个常用的方法:
替换法
替换法替换法,和谁替换呢?这个
被替换的节点一定要满足两个条件:
小于所有右子树的值大于所有左子树的值
那么现在就有两个人选了:
一个是左子树中的最右节点
一个是右子树中的最左节点
简单画个图来理解一下:
假设这里统一使用右子树中最左边的
节点来替换,替换完成后,还有问题!
那就是被替换的节点的左肯定是空了
因为此节点就是最左节点了,但是它的右
不一定为空,还需要分情况讨论,
具体代码如下:
//注,此时的cur即为要删除的节点
Node* tmp = cur->_right;
Node* prevtmp = cur;
while (1) //寻找右子树中的最左节点
{
if (tmp->_left != nullptr)
{
prevtmp = tmp;
tmp = tmp->_left;
}
else
break;
}
cur->_key = tmp->_key;
if (tmp->_right == nullptr)//如果被替换的节点的右为空
{
if (prevtmp == cur)//被删除节点右边只有一个节点,直接将被删除节点的右置空
prevtmp->_right = nullptr;
else
prevtmp->_left = nullptr;
delete tmp;
tmp = nullptr;
}
else
{
if (prevtmp == cur)
prevtmp->_right = tmp->_right;
else
prevtmp->_left = tmp->_right;
delete tmp;
tmp = nullptr;
}
代码解释已放在代码注释中
8. 总结以及拓展
二叉搜索树的模拟实现远远不止于此
但是我们只是想了解它的底层,而不是
写一个更好的二叉树出来,在插入和删除
这两个函数的非递归写法后,还有它们的
递归写法,毕竟一想到树总能想到递归,
递归的插入和删除留给大家自己实现
拓展链接:二叉搜索树的全部代码:
二叉搜索树模拟实现
