1.1 极限的概念

1.1.1 数列的极限

引言

• 在物理实验中，如果涉及到测量，那么误差总是存在的。误差是在正确实验的情况下实验测量值与理论值之间的差值。
• 如果理论是正确的并且使用更精密的实验仪器或改进实验方法，那么测量值就会更加接近理论值，这时我们可以认为理论值是测量值的极限。
• 物理中用误差来刻画理论值和测量值之间的差距，数学是现实的抽象表述，数学中通常使用希腊字母 $\epsilon$(英文发音Epsilon)来表述一个变量与另一个固定实数之间的差值，差值越小，两者越接近，如果这个差值可以任意小，那么这个变量的极限就是这个固定实数。

引例

举一个例子来更加清楚地理解极限。

• 从前有一个愚公想要搬走门前的一座大山。

简化如下

• 第一代人比较努力，搬走了这座山的二分之一。

• 第二代人就不太努力了，只搬走了这座山剩下的二分之一。

• 后面的每一代人都只搬走这座山剩余的二分之一。

• 观察图像可以发现他们移山的过程中每一代人搬走的越来越少，一直搬下去会越来越接近一整座山。

• 用数学模型来表示

第几代人	1	2	3	4	5	6	7	8	9
每一代人搬走的山	1/2	1/4	1/8	1/16	1/32	1/64	1/128	1/256	1/572
一共搬走的山	1/2	3/4	7/8	15/16	31/32	63/64	127/128	255/256	571/572

• 每一代人搬走的山视为数列的项，每一项越来越接近0，而不会等于0，即数列项的极限值为0。
• 一共搬走的山视为数列的和，数列和越来越接近1，而不会等于1，即数列和的极限值为1。

定义

数列的极限

如果对于任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在正整数 $N$ , 当 $n>N$ 时, 恒有
$$\left|x_n-a\right|<\epsilon$$

成立, 则称常数 $a$ 为数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}当 n 趋于无穷时的极限，记为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$
称数列收敛到 $a$，如果一个数列不收敛，则称它发散。

注意

• $\epsilon$是用来刻画 $x_n$ 与 $a$ 的接近程度，$N$ 是用来刻画 $n\to \infty$ （$n$趋于无穷）这个极限过程。
• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 的几何意义是: 对于 $a$ 点的任何 $\epsilon$ 邻域即开区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$, 一定存在 $N$,当 $n>N$ 即第 $N$ 项以后的点 $x_n$ 都落在开区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$内, 而只有有限个 (最多有 $N$个) 在这区间之外。
• 数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}的极限是否存在, 如果存在极限值等于多少,与数列的前有限项无关。
  $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k-1}=\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k}=a$。

典例

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数列的通项为 $a_n=\frac{1}{n}$， 证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$。

分析：利用数列极限的定义证明，当 $n$ 大于某一个值时，$a_n$和 $0$ 的差值的绝对值小于任意给定大于0的数。

证明：取任意 $\epsilon >0$，当 $n>\frac{1}{\epsilon }$ 时, $\frac{1}{n}<\epsilon$，故 当 $n>\frac{1}{\epsilon }$ 时, 有$\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon$ 。从而 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ ，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$。

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考研真题

对数列极限定义的考查

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(1999, 数二)“对任意给定的 $\epsilon \in (0,1)$, 总存在正整数 $N$, 当 $n⩾N$ 时, 恒有 $\left|x_n-a\right|⩽2\epsilon$” 是数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​} 收㪉于 $a$ 的 ( $C$ )

(A) 充分条件但非必要条件.

(B) 必要条件但非充分条件.

© 充分必要条件.

(D) 既非必要也非充分条件.

【解】

1. 由数列极限定义知, 如果数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​} 收玫于 $a$, 则对于任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在正整数 $N$, 当 $n>N$ 时, 恒有 $\left|x_n-a\right|<\epsilon$ 成立，由于 $\epsilon <2\epsilon$，必有 $\left|x_n-a\right|⩽2\epsilon$。得出必要条件。
2. 对任意给定的 $\epsilon \in (0,1)$，总存在正整数 $N$，当 $n⩾N$ 时, 恒有 $\left|x_n-a\right|⩽2\epsilon$。由于 $\epsilon$ 的任意性，则对于任意给定的 ${\epsilon }_1>0$, 取 $\epsilon =\frac{{\epsilon }_1}{3}$, 则当 $n⩾N$ 时,恒有$\left|x_n-a\right|⩽2\epsilon =\frac{2{\epsilon }_1}{3}<{\epsilon }_1$，由数列极限定义知, 数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​} 收敛于 $a$。得出充分条件。
3. 综上答案为充分必要条件，选 $C$。

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定理

设 { a n } \left\{a_{n}\right\} {an​} 和 { b n } \left\{b_{n}\right\} {bn​} 都是收敛数列, 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$ 。则

1. $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n+b_n\right)=a+b$ ， 数列和的极限等于极限的和；
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n{b}_n\right)=ab$ ，数列积的极限等于极限的和；
3. 若 $a$ 不为零, 则当 $n$ 充分大时, $a_n\ne 0$ , 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a}$。

典例

对上述定理的考查

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计算

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n+7}{n+1}$

【解】$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n+7}{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{5n+5}{n+1}+\frac{2}{n+1}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(5+\frac{2}{n+1}\right)$

(由上述定理得)

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(5+\frac{2}{n+1}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }5+2\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=5+2\times 0=5$

总结：数列比值的极限，等于分子分母最高阶$n$的系数的比值。（后面讲计算多项式的极限会详细分析。）

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1.1.2 函数的极限

引言

数列是一个特殊的函数，在坐标平面上，数列的图像是一个个离散的点，而更一般的情况，函数图像在坐标平面上是连续的（整体连续或者部分连续）。

在讨论数列的极限的时候都是考虑 $n$ 趋于无穷的情况，现在我们想象一下，在一个连续的函数中，如
$$f(x)=-x^2+2x+2(x\ne 1)$$

$x\to 1$时，$f(x)$的值如何变化?

我们将这个图像放大了看，$x=1$附近的点取值非常接近$3$，即当$x$趋近与$1$时，$f(x)$趋近于$3$，用公式表示为
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$$

注意到在定义域中$x$取不到$1$这个点，也就是$x=1$这个点函数值不存在，但是极限值存在，某一点的极限值只和这一点附近的函数值有关，和这一点本身的取值无关，这个附近的范围称为邻域。

邻域

邻域到底是多大一个范围呢？结合实例来说明一下。

• 美国屡次进犯我国南海，假设有一次美军军舰抵近我国岛屿20海里，我军可能会呼叫对方You have approached the adjacent waters of China's territorial waters, which seriously threaten China's national security. Please leave immediately.你们已经接近中国领海的邻近水域，这严重威胁到中国的国家安全。请立即离开。根据《联合国海洋法公约》领海宽度为12海里，20海里和12海里虽然差了8海里（约16公里），但在国防安全上毫无疑问是非常邻近的区域。

• 如果小明的爷爷在小明放学的时候给小明打电话“孙子，我在校门口附近等你，你出来就能看到我。”那么这个附近的位置离校门口的距离通常不会超过20米。

现实中讨论的邻近区域的范围会因为具体问题的不同而表现出较大差异。

数学是一种抽象的工具，南海的岛屿和小明学校的校门都可以看做坐标上的点，邻近海域和校门口的邻近位置都在相应点的邻近区域。那么在坐标轴这样的抽象模型中，邻域就是坐标上某点的邻近区域，定义中并不限定具体多远的距离算邻域。一方面现实中的附近千差万别，另一方面定义附近就像定义多少粒沙子才能算一堆沙子一样困难。

当然如果在某些问题中必须限定邻域的范围可以用某些限定词来表述描述，比如去心领域，邻域半径，单侧领域等等。

邻域是一个特殊的区间，以点$a$为中心点任何开区间称为点$a$的邻域，记作$U(a)$。

点$a$的$\delta$(英文发音delta)邻域：设$\delta$是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点$a$的$\delta$邻域，记作
U ( a , δ ) = { x ∣ a − δ < x < a + δ } U(a, \delta)=\{x \mid a-\delta<x<a+\delta\} U(a,δ)={x∣a−δ<x<a+δ}
点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

由于 $a-\delta <x<a+\delta$ 相当于 $|x-a|<\delta$，因此 U ( a , δ ) = { x ∣ ∣ x − a ∣ < δ } U(a, \delta)=\{x|| x-a \mid<\delta\} U(a,δ)={x∣∣x−a∣<δ} 表示与点 $a$ 的距离小于 $\delta$ 的一切点 $x$ 的全体。

定义

1.自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 若对任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在 $X>0$, 当 $x>X$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$, 则称 常数 $A$ 为 $f(x) $当 $x\to +\infty$ 时的极限, 记为$\lim f(x)=A$。

定义 若对任意给定的$\epsilon >0$, 总存在$X>0$, 当$x<-X$ 时, 恒有$|f(x)-A|<\epsilon$, 则 称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to -\infty$ 时的极限,记为 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$。

定义 若对任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在$X>0$, 当$|x|>X$时, 恒有$|f(x)-A|<\epsilon$, 则称常数$A$为$f(x)$当$x\to \infty$时的极限, 记为$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

注意

• 这里的$x\to \infty$是指 $|x|\to +\infty$；
• 而数列极限中的$n\to \infty$是指 $n\to +\infty$；
• 定理极限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$存在的充要条件是极限$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$及$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$存在并且相等。

2.自变量趋于有限值时函数的极限

定义 若对任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在$\delta >0$, 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$, 则称常数$A$为函数$f(x)$当 $x\to x_0$时的极限, 记为 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

注意

• $\epsilon$是用来刻画$f(x)$与$A$的接近程度，$\delta$ 是用来刻画 $x\to x_0$ 这个极限过程。

• 几何意义: 对任意给定的$\epsilon$>0 , 总存在 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$, 当 $x\in \mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$ 时, 曲线 $y=f(x)$夹在两直线 $y=A-\epsilon$ 和 $y=A+\epsilon$ 之间。

• 这里 $x\to x_0$, 但$x\ne x_0$ ，极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$是否存在, 如果存在极限值等于多少与$f(x)$在 $x=x_0$处有没有定义, 如果有定义函数值等于多少无关, 只与 $x=x_0$的去心邻域$\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$函数值有关. 而要使$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在, $f(x)$必须在 $x=x_0$的某去心邻域 $\mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$处处有定义。

1.1.3 左极限和右极限

引言

想象一下在中印交界的位置，有一个地方是垂直的喜马拉雅山崖。

阿三从山崖的左边疯狂地想要突破山崖爬过来，但是无论多么疯狂的举动他们也不能突破，只能从左边无限靠近山崖的底端，那么山崖的底端就是阿三从左边过来的极限位置。

山崖上插着祖国的红旗，我们的守军从右边防御敌人也只能从右边无限靠近红红旗的位置。

如果建立一个坐标轴，阿三水平位置从左边无限接近 $x_0$的时候，横坐标都比 $x_0$更小，所以用$x\to x_0^{-}$ 来描述横坐标 $x$ 趋近 $x_0$ 但小于 $x_0$ 的状态。横坐标 $x\to x_0^{-}$ 时他们的纵坐标 f(x) 会越来越接近 $y1$ ，即$f(x)$ 在 $x=x0$ 的左极限为 $y1$ ，数学表达式 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=y_1$

我们的守军从右边过来，我们的水平位置无限接近 $x_0$ 的时候，高度会越来越接近 $y2$ ，因为从右边过来的横坐标都比 $x_0$ 更大，所以用$x\to x_0^{+}$来描述横坐标 $x$ 趋近 $x_0$ 但大于 $x_0$ 的状态。横坐标$x\to x_0^{+}$时我们的高度 $f(x)$ 会越来越接近 $y2$ ，即$f(x)$ 在 $x=x0$ 的右极限为 $y2$ ，数学表达式$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=y_2$。

如果在$x_0$ 的后面不加正负号，那么$\underset{x\to x_0^{}}{\lim }f\left(x\right)=y_{}$表示双侧极限，当且仅当左右极限同时存在且相等时双侧极限才存在。

定义

定义 若对任意给定的 $\epsilon >0$, 总存在$\delta >0$, 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时, 恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$, 则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当$x\to x_0$时的左极限, 记为$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$，或 $f\left(x_0^{-}\right)=A$，或$f\left(x_0-0\right)=A$

定义 若对任意给定的$\epsilon >0$, 总存在 $\delta >0$, 当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时, 恒有$|f(x)-A|<\epsilon$, 则称常数 $A$ 为函数$f(x)$当$x\to x_0$时的右极限, 记为

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$， 或$f\left(x_0^{+}\right)=A$ ，或 $f\left(x_0+0\right)=A$

定理 极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在的充要条件是左极限$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 及右极限$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$存在并且相等.

注意

需要分左、右极限求极限的问题常见有以下三种:

• 分段函数在分界点处的极限, 而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有 绝对值的函数, 如 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$ );

  

• ${\mathrm{e}}^{\infty }$型极限 (如 $\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$,$\underset{x\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x$,$\underset{x\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}$) ;

  $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}=0$,$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}=+\infty$, 则 $\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$ 不存在;

  

  $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$,$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$, 则 $\underset{x\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x$ 不存在.

  注意 ${\mathrm{e}}^{\infty }\ne \infty ,{\mathrm{e}}^{+\infty }=+\infty ,{\mathrm{e}}^{-\infty }=0$.

• $\arctan \infty$ 型极限 (如 $\underset{x\to 0}{\lim }arctan\frac{1}{x}$,$\underset{x\to \infty }{\lim }arctanx$)

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$,$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$, 则 $\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x$不存在。

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$,$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$, 则$\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x}$ 不存在;

【注意】
$\arctan \infty \ne \frac{\pi }{2},\arctan (+\infty )=\frac{\pi }{2},\arctan (-\infty )=-\frac{\pi }{2}$.

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极限的概念在考研中很少专门出题考查，但是要理解清楚极限的概念，才能学好后面极限的计算。