问题

在研究matlab的FFT函数的时候发现了如下问题：对于信号
$$y=e^{j2\pi f_{1}t}+e^{j2\pi f_{2}t}+e^{j2\pi f_{3}t}$$
其中$f_1=500Hz$，$f_2=505Hz$，$f_2=1010Hz$。当我用$F_s=5120Hz$的采样率对其进行采样得到512个离散数据点，画出其频谱为：

问题一：频谱本应该是在500Hz、505Hz和1010Hz三处有峰，但是频谱上却没有显示出505Hz的信号。
问题二：由时域表达式可知，三个不同频点的信号功率一致，都为1。但是幅度谱上却无体现。

频谱分辨率、栅栏效应及频谱泄露

在简介栅栏效应之前，我们要分清DTFT、DFT和FFT三者的关系，可以参考我的这篇文章。

我们不妨细看DFT这个步骤，我们在matlab里调用FFT就是采用的DFT算法（当FFT点数是2的整数次幂的时候，就可以用快速傅里叶变换）。

频谱分辨率

由上图可知，我们最终得到的时域信号是以采样周期$T=\frac{1}{Fs}$为间隔，频谱中的谱线以$\frac{2\pi }{N}$间隔，这就是我们的频谱分辨率。
转换到数字上则有：$\Delta f=\frac{Fs}{N}$，在本例中则是$\Delta f=\frac{5120}{512}=10Hz$。

栅栏效应

我们可以想象，间隔10Hz的谱线，应该是会跳过我们的505Hz这个频点的信号。就好像通过栅栏观察频谱一样，因此叫做栅栏效应。

那么难道我们就观察不到这个频点的信号了吗？如果我们漏掉了505Hz这个频点的信号，那我们500Hz和1010Hz两个频点的信号功率不应该是一致的吗，怎么会幅度不一样呢？

频谱泄露

由上图可知，DFT的最后一个步骤是加窗，将一个无限长的信号截断为有限长的信号。在频域上，就是卷积一个Sa函数。

Sa函数的特性是能量集中在主瓣，少部分能量分布在旁瓣。这样原本各个频点的冲激信号经过卷积变为了Sa函数，能量也从集中分布在某个频点变为大部分集中，小部分泄露的情况。这就是我们说的频谱泄露。

回归到这个例子中，505Hz频点处的信号能量集中分布在505Hz附近的主瓣中，少部分泄露到其他地方去了。可是505Hz谱线最后由于频谱分辨率的原因并没有被采集到，而500Hz的谱线不仅集中了500Hz信号的能量，还因为离505Hz太近，包含在其主瓣内，分到了505Hz频点信号的能量，因此幅度变得特别大。而1010Hz离得很远，只分到了一点点的能量，所以它的幅度也不是整数。（具体该是多少我们下一章节讨论）

由此可见，如果需要缓解频谱泄露的问题，如何选择一个好的窗函数是很重要的。