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前言

本文对数字通信技术中的信道编码及译码进行学习记录。

数字通信，就是把一切声音，图像，文字，都变成 0，1 这种二进制代码，这种转换过来的数据，我们可以称之为原始数据 bit 那么，这种原始的 bit，是否可以直接调制，转换成电磁波发送出去呢？答案是不可以，因为电磁波传输过程中，一定会存在于扰和噪声，从而产生差错

下图为数字通信系统模型

数字通信系统模型

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一、什么是信道编码？

首先引用书上的定义对信道编码进行一下讲解：

信道编码（Channel Coding）的作用是进行差错控制。数字信号在传输过程中会受到噪声等影响而发生差错。为了减小差错,信道编码器对传输的信息码元按一定的规则加入保护成分(监督码元),组成所谓“抗干扰编码”。接收端的信道译码器按相应的逆规则进行解码,从中发现错误或纠正错误,提高通信系统的可靠性。

下面我们举个例子形象描述一下。
假设，我们把 “你好” 这两个字转换成 0，1 代码，比如用 00 和 01 分别代表你和好，在我们发送 00 时，因干扰原因，导致我们发送的数据变成了 01，那么我们发送的信息本来应该是“你”，而被接收端识别成了“好”，如下图所示：

我们为了抗干扰，就需要增加一个步骤，来让我们的数据具备“一定程度上的纠正干扰产生的差错的能力”，这个步骤就叫信道编码。

二、信道编码的基本逻辑—冗余数据

在进行信道编码时，需要增加冗余数据来达到抗干扰的效果，以下图为例，在运输花瓶时，为避免花瓶运输路途中破碎，我们增加一个泡沫箱子，再打包后通过快递进行发送，这里面的泡沫箱子及顺丰快递箱子就可以类似于冗余数据。

我们这里列举一些常用的冗余数据。

1、奇偶检验码

原始数据 100101100

• 奇校验：1001011001，校验位为 1，让 1 的总数变成奇数 5
• 偶校验：1001011000，校验位为 0，让 1 的总数保持为偶数 4

增加的 1bit 位，为校验位，也就是冗余 bit

假设使用奇校验：1001011001

• 传输过程中，错 1 位：1011011001，可以发现错误
• 传输过程中，错 2 位：0011011001，发现不了错误

奇偶校验码只具备检错的能力，而不具备纠错能力

2、重复码

原始信息 1 或者 0
编码

• 1 ——> 111
• 0 ——> 000

当受到干扰导致错 1 位的时候，可以达到纠错的效果

当受到干扰导致错 2 位的时候，不可以达到纠错的效果

三、编码率

$$R=K/N$$
$K$：有用 bit 数据
$N$：编码后的 bit 数据

以前面的码为例，原始数据 100101100 共 9 bit，奇校验: 1001011001 共 10 bit，编码率 $R=9/10=0.9$

重复码编码率 $R=1/3$

• 1/3 编码，表示 3 个编码后的比特中，包含 1 个有效比特；
• 1/4 编码，表示 4 个编码后的比特中，包含 1 个有效比特；

编码率越低，包含的几余信息越多，纠错的能力越强，抗干扰的能力越强，传输的有效数据越小

四、4G 和 5G 的信道编码

4G 的信道编码包括卷积码和 turbo 码，5G 的信道编码包括 polar 和 ldpc 码。

1、卷积码

卷积码一般使用（$n，K，N$）表示卷积编码器。

• $K$ 表示：输入的 K 个 bit （需要编码的原始 bit 数）
• $n$ 表示：输出的 $n$ 个 bit 编码后的 bit 数
• 编码率 $R=K/n$
• $N$：编码约束度 (实际上就是寄存器的个数)

卷积码将 $K$ 个信息码元编为 $n$ 个码元时，这 $n$ 个码元不仅与当前的 $K$ 个信息有关，也与前面的 $N-1$ 段信息有关

参考下面的例子：

2、维特比译码（Viterbi）—— 概率译码

维特比译码是根据接收序列，在网格图上找出一条与接收序列汉明距离最小的一种算法

汉明距离 Hamming：两个码组对应码位上具有不同二进制码元的位数，为两码组的距离，简称码距
举个例子：
码 1：000
码 2：101
这两个码的码距为 2

下面我们继续举个例子：

• 假设发送信息位是 1101
• 编码后发送的序列为 111 110 010 100
• 接收序列：111 010 010 110

注意：上面接收序列由于干扰导致出现了差错，现在我们看一下维特比译码是如何纠错的

每一种序列，都是网格图上的一条路径，0 用实线，1 用虚线










因此，最后解码序列为：111 110 010 100，达到了纠错的效果

如果更复杂的，可能会出现有两个汉明距离，那么我们就会随机选作为它的译码，导致出现错了，这也就是为什么维特比译码叫做概率译码

3、LTE 的咬尾卷积码

4、LTE 的 turbo 码

五、MATLAB 仿真

在进行卷积编码的过程中，使用的函数是 convenc() 函数和 vitdec() 函数，同时需要 poly2trellis() 函数。

1、ploy2trellis 函数

先看 poly2trellis() 函数，用来生成卷积编码所需要的网表。ploy2trellis 函数有两种调用形式：

trellis=poly2trellis(ConstraintLength,CodeGenerator);
trellis=poly2trellis(ConstraintLength,CodeGenerator,...FeedbackConnection)

后者应用于有负反馈的情形

这个函数相当于定义了编码器中寄存器的结构，一般来说，在查看卷积编码的相关资料中都是类似于（2,1,3）这种结构，但是这个函数只需要两个参数：

• ConstraintLength参数代表约束长度
• CodeGenerator 代码生成器，指定为八进制数的K乘N矩阵、多项式字符向量的K乘N单元阵列或K乘N字符串阵列。CodeGenerator 为编码器的 K 个输入比特流中的每一个指定 N 个输出连接。

通俗理解这两个参数的含义和作用，首先约束长度决定了再译码时候的回溯深度的大小，根据不同的编码速率有不同的关系，技术文档中对此有介绍：

根据设定的 n，k，和 L 值来确定，如对于 (2,1,3) 结构类型的卷积编码器，其中 rate = k/n = 1/2，对应第一种计算方式，那么回溯深度为 5*(L-1)，结果为10，在进行译码的时候利用这个值对齐或者截断，这个在下面使用过程中会有。

回到函数本身，如设计 (2,1,7) 类型的编码器，可以用：

L = 7;
trellis = poly2trellis(L,[171 133]);

其中的第二个参数是 8 进制数据的表现形式，对应二进制为[111_1111, 101_1011]。可以理解为进入1bit数据，输出2bit数据，所以这个是2维的，同时这个7bit每一位代表寄存器的抽头，可以根据这个画出编码器的连接形式。

ploy2treliis 顾名思义：多项式 ploy 到网格图 trellis
卷积码的生成多项式可以由一系列多项式描述，我们将多项式转化为 trellis 结构，这种结构又可以作为 matalb 中线形卷积编码函数 convenc 和或者其解码（如 Viterbi 解码函数 vitdec）的输入。

①、无负反馈的函数调用方法

• （3，2，4）卷积码，2 进 3 出，记忆长度（约束长度）L=max{4，3}+1=5
• 输入数据共两个对应两行寄存器，第一行有 4 个移位寄存器，第二行 3 个，分别对应约束长度（4+1，3+1）=（5，4）。那么 ConstraintLength 就应该是[5,4]。
• 第一位输出由第一行寄存器的“贡献”（生成序列）为（10，011）=23
• 第二位输出由第一行寄存器的“贡献”（生成序列）为（11，101）=35
• 第三位输出由第一行寄存器的“贡献”（生成序列）为（00，000）=0

==========================================================

• 第一位输出由第二行寄存器的“贡献”（生成序列）为（0，000）=0
• 第二位输出由第二行寄存器的“贡献”（生成序列）为（ 0，101）=5
• 第三位输出由第二行寄存器的“贡献”（生成序列）为（ 1，011）=13

那么 CodeGenerator 就是[23,35,0; 0,5,13]

运行

trellis=poly2trellis([5,4],[23,35,0;0,05,13])

输出如下：

trellis = 

  包含以下字段的 struct:

     numInputSymbols: 4
    numOutputSymbols: 8
           numStates: 128
          nextStates: [128×4 double]
             outputs: [128×4 double]

• numInputSymbols: 4
  • 输入状态数
  • 表示两路输入共有 4（$2^k$，$k$为输入的路数）种状态分别为 00，01，10，11
• numOutputSymbols: 8
  • 输出状态数
  • 表示输出共有 8（$2^n$，$n$为输出的路数）种状态分别为 000，001，010，011，100，101，110，111
• numStates: 128
  • 寄存器状态数
  • 当前状态数是 128（$2^7$，7 是寄存器的总个数) 状态是 7 为二进制数
• nextStates: [128x4 double]
  • 下一个状态
  • nextState 是 numStates-by-2k 的矩阵。他表示所有当前状态和当前输入组合所产生的下一状态。相当于马尔科夫链的状态转移表。行表示各种不同的当前状态，依次表示从全 0 状态到全 1 状态。
• outputs: [128x4 double]
  • 输出
  • outputs 也是 numStates-by-2k 的矩阵。他表示所有当前状态和当前输入组合所产生的输出（8进制表示）。行和列的意义的nextState相同。

>> trellis.nextStates(1:5,:) 

ans =

     0    64     8    72
     0    64     8    72
     1    65     9    73
     1    65     9    73
     2    66    10    74

上面我们列出了nextStates的 1-5 行

• （1，1）的元素表示在全 0 状态（0000000）时，输入 00 时的下一个状态还是全 0（0000000），即所有的寄存器的结果还都是 0；
• （1，2）的元素表示在全 0 状态（0000000）时，输入 01 时的下一个状态是 64（1000000）
  ……
• （2，1）的元素表示在 1 状态（0000001）时，输入为 00 时的下一个状态时全 0（0000000）
  ……

②、有负反馈的函数调用方法

考虑如下卷积码生成图

• 同理，记忆长度（约束长度）L=4+1=5，生成
• 第一位输出由寄存器的“贡献”（生成序列）为（11，111）=37
• 第二位输出由寄存器的“贡献”（生成序列）为（11，011）=33
• 那么 CodeGenerator 就是 [37，33]
• 负反馈多项式为为（11，111）=37

运行

trellis = poly2trellis(5,[37 33],37)

输出如下：

trellis = 

  包含以下字段的 struct:

     numInputSymbols: 2
    numOutputSymbols: 4
           numStates: 16
          nextStates: [16×2 double]
             outputs: [16×2 double]

结构体中的变量含义与第一节一致。

2、convenc() 函数

再看 convenc() 函数

codedout = convenc(msg,trellis)
codedout = convenc(msg,trellis,puncpat)

简单使用卷积编码就用这个第1种调用方式就可以了，其中

• msg参数是需要编码的信息，这个需要输入0,1二进制数据。
• trellis参数就是上面函数生成的结果，传输到这里。

在使用时，需要注意的是 msg 数据的长度要是k的整数倍，同时利用上面的约束长度，计算回溯深度，利用回溯深度在信息后面添加0。

3、vitdec() 函数

最后看译码函数

decodedout = vitdec(codedin,trellis,tbdepth,opmode,dectype)
decodedout = vitdec(codedin,trellis,tbdepth,opmode,'soft',nsdec)
decodedout = vitdec(codedin,trellis,tbdepth,opmode,dectype,puncpat)

译码函数的参数相对校多，主要是需要设置模式：

• codedin参数是需要译码的结果，模式选择硬判决的时候必须输入是整数，模式选择软判决的时候可以输入小数。
• trellis参数与编码函数的一致。
• tbdepth这个参数参数就是回溯深度，前面利用约束长度计算的结果。
• opmode 这个参数有三个不同的选项，分别为cont，term和trunc。
• dectype参数用来设置是硬解码hard还是软解码soft，硬解码输入的数据都是0和1，软解码可以说输入小数。

有一点需要注意的是，对于term和trunk模式，回溯深度tbdepth必须是一个正整数，并且小于或等于输入编码中的输入符号数，说白了就是在编码前的信息msg长度就得大于等于回溯深度，要不然不够译码的。

这三个参数的差别，term模式下没有延时，就是译码的第一个数据就是编码的第一个数据。trunc参数也没有延时，cont参数有延时，是回溯深度。还有差别就是连续编码的区别。

4、MATLAB 仿真

利用(2,1,7)结构的形式进行卷积编译码，如下是测试代码，选择cont 和hard模式。

close all;
clear;
clc;

msg_source = [randi([0 1],1,50),zeros([1,30])]; % 这行代码生成一个长度为80的随机二进制消息序列。它使用randi函数在0和1之间随机生成50个比特，并在后面添加30个零。

% 这些变量定义了卷积码的编码率。在这个例子中，n表示输出比特数，k表示输入比特数，因此编码率为1/2。
n = 2;
k = 1;
rate = k/n; % rate为 1/2

% 这些变量定义了卷积码的约束长度和回溯深度。在这个例子中，约束长度为7，回溯深度为5*(7-1)=30。
L = 7;
tblen = 5*(L-1); % 回溯深度

trellis = poly2trellis(L,[171 133]); % 使用poly2trellis函数生成一个约束长度为7的卷积码的Trellis结构。生成多项式为[171 133]，定义了卷积码的生成过程。
code_data = convenc(msg_source,trellis); % 使用convenc函数对消息序列进行卷积码编码。它将msg_source输入到卷积码编码器中，使用之前生成的Trellis结构，得到编码后的数据序列code_data。
zero=zeros(1,2*tblen);  % 生成一个长度为2*tblen的零向量。
code_data=[code_data(:,1:end),zero]; % 在编码数据的末尾添加了零，以增加解码过程的缓冲区大小
d = vitdec(code_data,trellis,tblen,'cont','hard'); % 使用vitdec函数对编码数据进行卷积码译码。它使用之前生成的Trellis结构和回溯深度，采用硬判决方式进行译码，得到译码后的数据序列d。
d = d(tblen*k+1:end); % 从译码数据中去除多余的部分，保留原始消息序列的长度。
figure(1);
stairs(msg_source(1:end),':*r'); % 绘制原始消息序列的阶梯图，使用红色星号表示
hold on;    % 保持图形窗口的当前内容，以便后续的绘图命令在同一窗口中显示。
stairs(d,':+b');    % 绘制译码后的消息序列的阶梯图，使用蓝色加号表示。
ylim([-0.1,1.1]);
grid on;
legend('原始信息','恢复信息');

仿真结果：

可以看到编码后的 80bit 数据译码后与原数据一一对应。

参考文献：
1、【小白也能看懂】信道编码—卷积码等相关内容
2、卷积码matlab实现之ploy2trellis函数
3、信道编码：MATLAB使用卷积编译码函数

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