三、 0-1 矩阵的列集互斥问题。给定一个 $m\times n$ 的 0-1 矩阵 $\mathrm{A}$ 。定义列互斥为: 对于矩阵 $A$ 中的任意两列 $i$ 和 $j$, 如果在对应的每一行上, $i$ 和 $j$ 不存在同时为 1 的情况, 则称列 $\mathrm{i}$ 和 $\mathrm{j}$ 互斥。定义列集互斥为: 设 $\mathrm{S}1$ 和 $\mathrm{S}2$ 为矩阵 $\mathrm{A}$ 中的列的集合, $S1$ 和 $S2$ 之间没有交集 (即, 不允许 $\mathrm{A}$ 中的某列既属于 $\mathrm{S}1$ 又属于 $\mathrm{S}2$ ), 如果在对应的每一行上, $\mathrm{S}1$ 中的任意一列和 $\mathrm{S}2$ 中的任意一列不存在同时为 1 的情况, 则称列集 $\mathrm{S}1$ 和 $S2$ 互斥。设计一个算法, 求出 $\mathrm{A}$ 上的一组 $\mathrm{S}1$ 和 $\mathrm{S}2$ ,使得 $\mathrm{S}1$ 和 $\mathrm{S}2$ 包含的列的个数为最多

$S1$和$S2$非空。

思路：

适当的利用剪枝函数和限界函数以减少搜索的空间：

• 剪枝函数：即题目要求，只有互斥才能进入下一层。
• 限界函数：目前A和B矩阵的列数加上剩余的列数已经小于当前最优解，放弃向下搜索。

使用Py编写这个算法的时候，可以使用numpy库的数据，加快我们运行的速度，同时可以减少很多循环遍历数组的冗余代码。

为了节省时间，我们在开始计算前，先把$n$列向量的互斥关系都计算出来，保存在一个$n\times n$的矩阵内。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class Matrix:
    def __init__(self, array):
        self.array = array
        rows, columns = array.shape
        self.belong = np.zeros(columns, dtype=int)  # 1属于A, 2属于B
        self.solve = np.zeros(columns, dtype=int)   # 最终解
        self.best = 0  # 最佳列数
        self.sumA = 0  # 记录当前A列数
        self.sumB = 0  # 记录当前B列数
        self.judge = np.ones((columns, columns), dtype=int)  # 减少时间的关键，判断两列互斥
        self.diff = 9999

        # 先计算出列与列之间的互斥关系1代表不互斥，0代表互斥
        for i in range(columns):
            self.judge[i, i] = 0
            for j in range(i):
                for k in range(rows):
                    if array[k, i] == 1 and array[k, j] == 1:
                        self.judge[i, j] = 0
                        self.judge[j, i] = 0
                        break


    # j列能否归入A
    def could_be_a(self, j):
        for i in range(j):
            if self.belong[i] == 2 and self.judge[i, j] == 0:
                return False
        return True

    # j列能否归入B
    def could_be_b(self, j):
        for i in range(j):
            if self.belong[i] == 1 and self.judge[i, j] == 0:
                return False
        return True

    def biggest_divide(self, i):

        columns = self.array.shape[1]

        if i >= columns:
            if self.sumA + self.sumB > self.best and self.sumA and self.sumB and np.abs(self.sumA-self.sumB) < self.diff:
                self.best = self.sumA + self.sumB
                self.solve = self.belong.copy()
                self.diff = np.abs(self.sumA-self.sumB)
            return

        if self.could_be_a(i):
            self.belong[i] = 1
            self.sumA += 1
            self.biggest_divide(i + 1)
            self.belong[i] = 0
            self.sumA -= 1

        if self.could_be_b(i):
            self.belong[i] = 2
            self.sumB += 1
            self.biggest_divide(i + 1)
            self.belong[i] = 0
            self.sumB -= 1

        if self.sumA + self.sumB + columns - i >= self.best:
            self.biggest_divide(i + 1)

    def show(self):
        a_indices = np.where(self.solve == 1)[0]
        b_indices = np.where(self.solve == 2)[0]

        print("A:", a_indices)
        print("B:", b_indices)
        
        color_array = self.array.copy()
        color_array[:, a_indices] *= 10
        color_array[:, b_indices] *= 7
        
        plt.matshow(color_array, cmap=plt.cm.Reds)
        plt.show()


row = 50
colume = 20
array = np.random.choice([0, 1], size=(row, colume), p=[0.8, 0.2])
test = Matrix(array)
test.biggest_divide(0)
test.show()

使用show来可视化最终结果，如果这里只取列数合最大，一般A列都比较多，如果要好看的结果可以限制A列和B列之间距离越小越好，多设置一个diff参数，当列数合相同时，保存A列与B列相差较小的结果。

在$m$=50,$n$=20下，1填充率为20%，随机填充下的互斥结果，深红色为A集合，鲜红色为B集合。

A: [ 0 5 16 17 19]
B: [ 2 7]

时间复杂度分析：

1. 对于每一列，回溯算法会考虑三种可能性：将其归入 A 部分或归入 B 部分或者不归入。
2. 对于每一列的三种可能性，又会递归考虑下一列的三种可能性，以此类推。
3. 这样的递归结构导致了指数级的搜索树。
4. 在最坏情况下，需要考虑的列数等于矩阵的列数，因此有$3^n$种可能性，其中 $n$ 是列数。