P2

Question：
  式 (1-1) 给出了经传输速率为 R 的 N 段链路发送长度为 L 的一个分组的端到端时延。 对于经过 N 段链路一个接一个地发送 P 个这样的分组，一般化地表示出这个公式。

Answer：
  $\frac{N\ast L}{R}$ 时，第一个包到达目的地，第二个包存储在最后一个路由器中，第三个包存储在倒数第二个路由器中，以此类推，$\frac{N\ast L}{R}+\frac{L}{R}$ 时，第二个包到达目的地，第三个包存储在最后一个路由器中，以此类推，按照这个逻辑继续，我们可以看到在 $\frac{N\ast L}{R}+\frac{(P-1)\ast L}{R}=\frac{(N+P-1)\ast L}{R}$ 时所有数据包到达目的地。

P3

Question：
  考虑一个应用程序以稳定的速率传输数据（例如，发送方每 k 个时间单元产生 N 比特的数据单其中k较小且固定） 另外，当这个应用程序启动时，它将连续运行相当长的一段时间。回答下列问题，简要论证你的回答：

• a. 是分组交换网还是电路交换网更为适合这种应用？为什么？
• b. 假定使用了分组交换网，并且该网中的所有流量都来自如上所述的这种应用程序。此外，假定该应用程序数据传输速率的总和小于每条链路的各自容量。需要某种形式的拥塞控制吗？为什么？

Answer：

• a. 电路交换网，因为应用将以稳定速率，持续长时间运行，因此可以为其保留带宽。
• b. 不需要，因为传输速率总和小于链路容量。

P4

Question：
  考虑在图 1-13 中的电路交换网。回想在每条链路上有4条链路，以顺时针方向标记四台交换机 A、B、C、D。

• a. 在该网络中，任何时候能够进行同时连接的最大数址是多少？
• b. 假定所有连接位于交换机 A 和 C 之间。能够进行同时连接的最大数量是多少？
• c. 假定我们要在交换机 A 和 C 之间建立4条连接，在交换机 B 和 D 之间建立另外4条连接，我们能够让这些呼叫通过这4条链路建立路由以容纳所有8条连接吗？

Answer:

• a. 在左上角的转换器和右上角的转换器之间，我们可以有4个连接。类似地，我们可以在其他3对相邻转换器之间各有四个连接。因此，这个网络最多可以支持16个连接。
• b. 通过右上角的转换器有4个连接，通过左下角的转换器有4个连接，总共有8个连接。$A->B->C$有四条，$A->D->C$有四条。
• c. 可以。对于A和C之间的连接，我们路由两个连接通过B，两个连接通过D。对于B和D之间的连接，我们路由两个连接通过A，两个连接通过C。这样，最多有4个连接通过任何链接。
  • A 到 B ：2 条          B 到 A ：2 条
  • A 到 D ：2 条          B 到 C ：2 条

P5

Question：

回顾在 1.4 节中的车队的类比。假定传播速度为 $100km/h$

• a. 假定车队旅行 $150km$，在一个收费站前面开始，通过第二个收费站，并且正好在第三个收费站后面结束。其端到端时延是多少？
• b. 重复 （a）现在假定车队中有 8 辆汽车而不是 10 辆。

已知信息：收费亭相距75公里，车辆以每小时100公里的速度传播。收费亭每12秒为一辆汽车提供服务。

Answer：

• a. 总共有十辆车。第一个收费站服务这10辆车需要120秒钟，也就是2分钟。每辆汽车在到达第二个收费站之前都有45分钟的传播延迟(行驶75公里)。因此，在47分钟后的第二个收费站前，所有的汽车都排好了队。整个过程重复在第二个和第三个收费亭之间旅行。第三个收费站还需要2分钟才能为10辆车提供服务。因此，总的延迟时间是96分钟。

  • 收费站将整个车队推向公路的时间为 $d1=2min$

  • 两收费站之间距离 $75km$，从一个收费站到另一个的时间 $d2=45min$

  • 总时间 $d=3d1+2d2=96min$

• b. 此时 $d1=96s，d2=45min，$总时间 $d=3d1+2d2=94.8min$

P6

Question：
  这个习题开始探讨传播时延和传输时延。这是数据网络中的两个重要概念。考虑两台主机 A 和 B 由一条速率为 $Rbps$ 的链路相连。假定这两台主机相隔 $m$ 米，沿该链路的传播速率为 s m/s 主机 A 向主机 B 发送长度为 $L$ 比特的分组。

• a. 用 $m$ 和 $s$ 来表示传播时延 $d_{prop}$。
• b. 用 $L$ 和 $R$ 来确定该分组的传输时间 $d_{trans}$ 。
• c. 忽略处理和排队时延，得出端到端时延的表达式。
• d. 假定主机 A 在时刻 $t=0$ 开始传输该分组。在时刻 $t=d_{trans}$，该分组的最后一个比特在什么地方。
• e. 假定 $d_{prop}$ 大于 $d_{trans}$， 在时刻 $t=d_{trans}$ 该分组的第一个比特在何处。
• f. 假定 $d_{prop}$ 小于 $d_{trans}$， 在时刻 $t=d_{trans}$ 该分组的第一个比特在何处。
• g. 假定 $s=2.5\ast 10^8$ ，$L=120$ 比特，$R=56kbps$。 求出使 $d_{prop}$ 等于 $d_{trans}$ 的距离 $m$。

Answer：

  传输时延是路由器推出分组所需要的时间，它是分组长度和链路传输速率的函数，而与两台路由器之间的距离无关。而传播时延是一个比特从一台路由器传播到另一台路由器所需要的时间，它是两台路由器之间距离的倒数，而与分组长度和链路传输速率无关。

• a. $d_{prop}=m/s$ seconds
• b. $d_{trans}=L/R$ seconds
• c. $d_{end-to-end}=d_{prop}+d_{trans}=m/s+L/R$
• d. 这一比特刚刚离开A
• e. 传播时延要大于传输时延，在时刻 $t=d_{trans}$ 已完成传输，但第一位还在链路上并且还没有到达B。
• f. 传播时延要小于传输时延，在时刻 $t=d_{trans}$ 已完成传输，第一位已到达B。
• g. $m=\frac{L}{R}\ast s=\frac{120}{56\ast 10^3}\ast (2.5\ast 10^8)=536km$。

P7

Question：
  在这个习题中，我们考虑从主机 A 向主机 B 通过分组交换网发送语音 （VoIP）。 主机 A 将模拟语音转换为传输中的 $64kbps$ 数字比特流。然后主机 A 将这些比特分为 56 字节的分组。A 和 B 之间有一条链路：它的传输速率是 $2Mbps$， 传播时延是 $10ms$。一旦收集了一个分组，就将它向主机 B 发送。一旦主机 B 接收到一个完整的分组，它将该分组的比特转换成模拟信号。从比特产生（从位于主机 A 的初始模拟信号起）的时刻起，到该比特被解码 （在主机 B 上作为模拟信号的一部分），花了多少时间？

Answer：

• 考虑数据包中的第一位。在传输此位之前，必须生成数据包
• 主机 A 产生 56 字节的分组需要 = 56 * 8b / 64kbps = 7ms
• 传输时延 = 56 * 8b / 2Mbps = 0.224ms
• 传播时延 = 10ms
• 总时间 = 7ms + 10ms + 0.224ms = 17.224ms

P8

Question：
  假定用户共享 $3Mbps$ 的链路。又设每个用户传输时要求 $150kbps$，但是每个用户仅有 $10\%$ 的时间传输。

• a. 当使用电路交换时，能够支持多少用户？
• b. 对于本习题的后续小题，假定使用分组交换，求出某给定用户正在传输的概率。
• c. 假定有 120 个用户。求出在任何给定时刻，实际有 n 个用户在同时传输的概率。提示 ：（使用二项式分布）
• d. 求出有 21 个或更多用户同时传输的概率。

Answer:

• a. 能支持20个用户（$3Mbps/150kbps=20$）
• b. $p=0.1$
• c. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{n}\right)p^n(1-p{)}^{120-n}$
• d. $1-{\sum }_{n=0}^{120}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{120}{n}\right)p^n(1-p{)}^{120-n}\approx 0.003$

P9

Question：
  考虑在 1. 3节 “分组交换与电路交换的对比” 的讨论中，给出了一个具有 $1Mbps$ 链路的例子。用户在忙时以 $100kbps$ 速率产生数据。但忙时仅以 $p=0.1$ 的概率产生数据 假定用 $1Gbps$ 链路替代 $1Mbps$ 的链路。

• a. 当采用电路交换技术时，能被同时支持的最大用户数量 N 是多少？
• b. 现在考虑分组交换和有 N 个用户的情况。给出多于 N 用户发送数据的概率公式（用p、M、N表示）

Answer：

• a. 10000（$1Gbps/100kbps$=10000）
• b. ${\sum }_{n=N+1}^M\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{n}\right)p^n(1-p{)}^{M-n}$

P10

Question：
  考虑一个长度为 L 的分组从端系统 A 开始，经 3 段链路传送到目的端系统。令 $d_i$、$s_i$ 和 $R_i$ 表示链路 $i$ 的长度、传播速度和传输速率 $(i=1,2,3)$ 。该分组交换机对每个分组的时延为 $d_{proc}$。假定没有排队时延，用$d_i$、$s_i$ 、 $R_i$$(i=1,2,3)$ 和 L 表示，该分组总的端到端时延是什么？现在假定该分组是1500 字节，在所有 3 条链路上的传播时延是 $2.5\ast 10^{8}m/s$， 所有 3 条链路的传输速率是 $2Mbps$，分组交换机的处理时延是 $3ms$，第一段链路的长度是 $5000km$，第二段段链路的长度是 $4000km$， 井且最后一段链路的长度是 $1000km$， 对于这些值，该端到端时延为多少？

Answer：
  第一终端系统要求 $L/R_1$ 将分组发送到第一链路；分组在 $d_1/s_1$ 中的第一链路上传播；分组交换机增加 $d_{proc}$ 的处理延迟；在接收到整个分组后，连接第一和第二链路的分组交换机要求 $L/R_2$ 将该分组发送到第二链路；该分组通过 $d_2/s_2$ 中的第二链路传播。同样，我们可以找到第二个交换机和第三个链路：$L/R_3$、$d_{proc}$ 和 $d_3/s_3$所造成的延迟。加上这五个延迟：
$$t_{trans}=L/R_1+L/R_2+L/R_3$$$$t_{prop}=d_1/s_1+d_2/s_2+d_3/s_3$$$$t_{proc}=2d_{proc}$$$$t_{end-end}=t_{trans}+t_{prop}+t_{proc}$$
将具体数据带入以上公式可得时延为：
$$6+6+6+20+16+4+3+3=64ms$$

P11

Question：
  在上述习题中，假定 $R1=R2=R3=0$ 且 $d_{proc}=0$。进一步假定该分组交换机不存储转发分组 ，而是在等待分组到达前立即传输它收到的每个比特。这时端到端时延为多少？

Answer：

由于比特是立即发送的，所以分组交换机不存在任何延迟所以有：
$$t_{end-end}=L/R+d_1/s_1+d_2/s_2+d_3/s_3=6+20+16+4=46ms$$

P12

Question：
  一台分组交换机接收一个分组并决定该分组应当转发的出链路。当某分组到达时，另一个分组正在该出链路上被发送到一半 ，还有4个其他分组正等待传输。这些分组以到达的次序传输。假定所有分组是 1500 字节并且链路速率是 $2Mbps$。 该分组的排队时延是多少？在更一般的情况下，当所有分组的长度是 L， 传输速率是 R， 当前正在传输的分组已经传输了 $x$ 比特，并且已经在队列中有分组，其排队时延是多少?

Answer：

• 到达的数据包必须首先等待链路发送4.5×1500字节=6750字节或54000比特，由于这些比特是以 $2Mpbs$ 发送的，所以队列延迟为 $54000bit/2Mpbs=27ms$
• 一般情况下排序时延为：$\frac{n\ast L(L-x)}{R}$

P13

Question：

• a. 假定有 N 个分组同时到达一条当前没有分组传输或排队的链路。每个分组长为 L，链路传输速率为 R 。对 N 个分组而言，其平均排队时延是多少？
• b. 现在假定每隔 LN/R 秒有 N 个分组同时到达链路。一个分组的平均排队时延是多少？

Answer：

• a. 第一个分组的排队时延为 0, 第二个 $\frac{L}{R}$, 第三个 $\frac{2L}{R}$，第N个$\frac{(n-1)L}{R}$，因此平均排队时延为 $\frac{\frac{L}{R}+\frac{2L}{R}+\dots +\frac{(n-1)L}{R})}{N}=\frac{(N-1)L}{2R}$
• b. 当下一批 N 个分组到达时，上一批已经传完，因此平均排队时延与上一题相同为 $\frac{(N-1)L}{2R}$

P14

Question：
  考虑某路由器缓存中的排队时延。令 I 表示流量强度；即 I = La/R。假定排队时延的形式为 IL/R(1-I)，其中 I < 1。

• a. 写出总时延即排队时延加上传输时延的公式。
• b. 以 L/R 为函数咄出总时延的图。

Answer：

• a. 传输延迟为L/R。总延迟是$\frac{IL}{R(1-I)}+\frac{L}{R}=\frac{L/R}{1-I}$
• b. 令 x = L/R，则总延迟为：$\frac{x}{1-ax}$，当 x = 0 时，总延迟为0，随着 x 的增长，当 x 趋近于 $\frac{1}{a}$ 时，总延迟趋近于正无穷。

P15

Question：
  令 a 表示在一条链路上分组的到达率（以分组／秒计） 令 $\mu$ 表示一条链路上分组的传输率（以分组／秒计）。基于上述习题中推导出的总时延公式（即排队时延加传输时延），推导出以 a 和 $\mu$ 表示的总时延公式 。

Answer：
  总的延迟为： $\frac{L/R}{1-I}=\frac{L/R}{1-aL/R}=\frac{1/\mu }{1-a/\mu }=\frac{1}{\mu -a}$

P16

Question：
  考虑一台路由器缓存前面的一条出链路。在这个习题中，将使用李特尔 (Little) 公式，这是排队论中的一个著名公式。令 N 表示在缓存中的分组加上被传输的分组的平均数。令 a 表示到达该链路的分组速率。令 d 表示一个分组历经的平均总时延（即排队时延加传输时延）。李特尔公式是 $N=a\ast d$。假定该缓存平均包含 10 个分组，并且平均分组排队时延是 10ms。该链路的传输速率是 100 分组/秒。使用李特尔公式，在没有丢包的情况下，平均分组到达率是多少？

Answer：

• 系统中的包总数包括缓冲区中的包和正在传输的包所以有：N=10+1。
• 因为 $N=a\ast d$，所以$（10+1）=a\ast$（排队延时+传输延时），所以 $11=a\ast (0.01+1/100)$，得到 a = 550分组/s

P17

Question：

• a. 对于不同的处理速率、传输速率和传播时延，给出 1.4.3节中式（1-2）的一般表达式。
• b. 重复 （a），不过此时假定在每个节点有平均排队时延 $d_{queue}$。

Answer：

• a. 有 Q 节点（源主机和Q-1路由器）。设 $d_{proc}^q$ 表示 q 节点处的处理延迟。设 $R^q$ 为第 q 个链路的传输速率，则 $d_{trans}^q=L/R^q$，设 $d_{proc}^q$ 是穿越 q 个链路的传播延迟。综上有：
  $$d_{end-to-end}=\sum _{q=1}^Q\left[\begin{array}{c}{d}_{proc}^q+d_{trans}^q+d_{prop}^q\end{array}\right]$$
• b. 设 $d_{queue}^q$ 是结点 q 的排队延迟。那么有：

$$d_{end-to-end}=\sum _{q=1}^Q\left[\begin{array}{c}{d}_{proc}^q+d_{trans}^q+d_{prop}^q+d_{queue}^q\end{array}\right]$$

P20

Question：
  考虑对应于图 1-20b 吞吐量的例子。现在假定有 M 对客户－服务器而不是 10 对。用 $R_s、R_c、和R$ 分别表示服务器链路 、客户链路和网络链路的速率。假设所有的其他链路都有充足容量 ，并且除了由这 M 对客户－服务器产生的流量外，网络中没有其他流量。推导出由 $R_s、R_c、R$ 和 $M$ 表示的通用吞吐量表达式。

Answer：
  吞吐量为：$min(R_s，R_c，R/M)$

P21

Question：
  考虑图 1-19b。 现在假定在服务器和客户之间有 M 条路径。任两条路径都不共享任何链路。路径 $k(k=1,\cdot \cdot \cdot ,M)$ 由传输速率为 $R_1^k，R_2^k，R_3^k，...，R_N^k$的 N 条链路组成。如果服务器仅能够使用一条路径向客户发送数据，则该服务器能够取得的最大吞吐量是多少？ 如果该服务器能够使用所有 M 条路径发送数据，则该服务器能够取得的最大吞吐量是多少？

Answer：

• 如果仅能使用一条路径，则最大吞吐量为： m a x { m i n { R 1 1 ， R 2 1 ， . . . ， R N 1 } ， m i n { R 1 2 ， R 2 2 ， . . . ， R N 2 } ， . . . ， m i n { R 1 M ， R 2 M ， . . . ， R N M } } max\{min\{R_1^1，R_2^1，...，R_N^1\}，min\{R_1^2，R_2^2，...，R_N^2\}，...，min\{R_1^M，R_2^M，...，R_N^M\}\} max{min{R11​，R21​，...，RN1​}，min{R12​，R22​，...，RN2​}，...，min{R1M​，R2M​，...，RNM​}}
• 如果可以使用所有 M 条路经，则最大吞吐量为： ∑ k = 1 M m i n { R 1 k ， R 2 k ， . . . ， R N k } \sum_{k=1}^Mmin\{R_1^k，R_2^k，...，R_N^k\} ∑k=1M​min{R1k​，R2k​，...，RNk​}

P22

Question：
  考虑图 1-19b。 假定服务器与客户之间的每条链路的丢包概率为 p。 且这些链路的丢包率是独立的。一个（由服务器发送的）分组成功地被接收方收到的概率是多少？如果在从服务器到客户的路径上分组丢失了，则服务器将重传该分组。平均来说，为了使客户成功地接收该分组，服务器将要重传该分组多少次？

Answer：

• 成功接收到一个数据包的概率为： $p_s=(1-p{)}^N$
• 在客户端成功接收到数据包之前，需要执行的传输数量是一个具有成功概率为 $p_s$ 的几何随机变量。因此，所需的平均传输数为：$1/ps$。因此，所需的平均重传输次数为： $1/ps-1$。

P23

Question：
  考虑图 1-19a。假定我们知道沿着从服务器到客户的路径的瓶颈链路是速率为 $R_{s}bps$ 的第一段链路。假定我们从服务器向客户发送紧密相连的一对分组，且沿这条路径没有其他流量。假定每个分组的长度为 L 比特，两条链路具有相同的传播时延 $d_{prop}$

• a. 在目的地，分组的到达间隔时间有多大？也就是说 从第一个分组的最后一个比特到达到第二个分组最后一个比特到达所经过的时间有多长？
• b. 现在假定第 二 段链路是瓶颈链路（即 $R_c<R_s$），第二个分组在第二段链路输入队列中排队是可能的吗？请解释原因。现在假定服务器在发送第一个分组 T 秒之后再发送第二个分组。为确保在第二段链路之前没有排队，T必须要有多长？试解释原因。
  

Answer：

令第一个分组为A，第二个分组为 B

• a. 如果瓶颈链路是第一个链路，则分组B在第一个链路排队等待分组A的传输，因此包到达目的地的时间仅为 $L/R_s$。
• b. 可能，因为第二个分组 B 可能在第一个分组 A 被推出之前到达：
  • A 被完全推出的时间 $t_A=L/R_s+L/R_c+d_{proc}$
  • B 到达路由器的时间 $t_B=2L/R_s+d_{proc}+T$
  • 要求 $t_B>t_A$ 即：$T>L/R_c-L/R_s$
  • 因此 T 至少是 $L/R_c-L/R_s$

P24

Question：
  假设你希望从波士顿向洛杉矶紧急传送 $40\ast 10^{12}$ 字节数据。你有一条 $100Mpbs$ 专用链路可用于传输数据。你是愿意通过这条链路传输数据，还是愿意使用 FedEx 夜间快递来交付？解释你的理由。

Answer：
  如果使用专用链接，它将需要 $40\ast 10^{12}\ast 8/（100\ast 10^6）=3200000s=37days$。但通过联邦快递的隔夜快递，你可以保证数据在一天内到达，而且价格应该不到100美元。

P25

Question：
  假定两台主机 A 和 B 相隔 $20000km$， 由一条直接的 $R=2Mbps$ 的链路相连。假定跨越该链路的传播速率是 $2.5\ast 10^{8}m/s$

• a. 计算带宽－时延积 $R\ast t_{prop}$
• b. 考虑从主机 A 到主机 B 发送一个 800000 比特的文件。假定该文件作为一个大的报文连续发送在任何给定的时间，在链路上具有的比特数量最大值是多少？
• c. 给出带宽－时延积的一种解。
• d. 在该链路上一个比特的宽度（以米计）是多少？它比一个足球场更长吗？
• e. 用传播速 s 、带宽 R 链路 m 的长度表示，推导出一个比特宽度的一般表示式。

Answer：

• a. 160,000 bits
• b. 160,000 bits
• c. 链路的带宽-延迟乘积是链路中可以出现的最大位数。
• d. $20000km/1.6\ast 10^5=125m$，这比足球场长(正规足球场场地：长105米、宽68米)
• e. s/R

P26

Question：
  对于习题 P25，假定我们能够修改 R ，对什么样的 R 值，一个比特的宽度能与该链路的长度一样长？

Answer：
  $s/R=20000km，thenR=s/20000km=2.5\ast 108/(2\ast 107)=12.5bps$

P27

Question：
  考虑习题 P25， 但此时链路的速率是 R = 1 Gbps

• a. 计算带宽－时延积 $R\ast d_{prop}$。
• b. 考虑从主机 A 到主机 B 发送一个 800000 比特的文件。假定该文件作为 个大的报文连续发送。在任何给定的时间，在链路上具有的比特数量最大值是多少？
• c. 在该链路上一个比特的宽度（以米计）是多少？

Answer：

• a. $80000000bits$
• b. 800000位，这是因为在任何给定时间，链路中的最大位数=$min（带宽延迟积，分组大小）=800,000位$。

P28

Question：再次考虑习题 P25。

• a. 假定连续发送，发送该文件需要多长时间？
• b. 假定现在该文件被划分为 20 个分组，每个分组包含 40000 比特。假定每个分组被接收方确认，确认分组的传输时间可忽略不计。最后，假定前一个分组被确认后，发送方才能发送分组 。发送该文件需要多长时间？
• c. 比较 （a）（b） 的结果。

Answer：

• a. $t_{trans}+t_{prop}=400ms+80ms=480ms$
• b. $20\ast (t_{trans}+2t_{prop})=20\ast (20ms+80ms)=2s$
• c. 传输每个数据包需要更长的时间，因为每个数据包及其相应的确认包增加了它们自己的传播延迟。

P29

Question：
  假定在同步卫星和它的地球基站之间有一条 $10Mbps$ 的微波链路。每分钟该卫星拍摄一幅数字照片，并将它发送到基站。假定传播速率是 $2.4\ast 10^{8}m/s$

• a. 该链路的传播时延是多少？
• b. 带宽－时延积 $R\ast d_{prop}$ 是多少？
• c. 若 $x$ 表示该照片的大小。对于这条微波链路，能够连续传输的 $x$ 最小值是多少?

Answer：

假设同步卫星距离地表 36000 公里：

• a.$150ms$
• b.$1500000bits$
• c. $600000000bits$