RSA加密算法

RSA算法的具体描述如下：
（1）任意选取两个不同的大素数p和q计算乘积$n=pq$ ，$\phi (n)=(p-1)(q-1)$ ；

（2）任意选取一个大整数e，满足$gcd(e,\phi (n))=1$，也就是e 和φ(n)互质，整数e用做加密钥；

（3）确定的解密钥d，满足$demod\phi (n)=1$，即$de=k\phi (n)+1,k\ge 1$ 是一个任意的整数；
所以，若知道e和φ(n) ，则很容易计算出d；

（4）公开整数n和e，秘密保存d；即公钥$PK=(e,n)$，私钥$SK=(d,n)$;

（5）将明文m（m<n是一个整数）加密成密文c，加密算法为：
$$c=E(m)=m^{e}modn$$

（6）将密文c解密为明文m，解密算法为：
$$m=D(c)=c^{d}modn$$

然而只根据n和e（注意：不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。

欧拉代数定理：
若n, a为正整数，且n，a互质，则，φ(n) 为欧拉函数，表示小于n且和n互质的数的个数。特别的，当n为素数时，$\phi (n)=n-1$，当p，q为素数时$\phi (pq)=(p-1)(q-1)$。
所以有
参考链接:https://blog.csdn.net/qq_45198339/article/details/128741483

XCTF-RSA题

1. 初始RSA

题目描述

附件：

from Crypto.Util.number import bytes_to_long,inverse,getPrime
from flag import flag

m = bytes_to_long(flag)

p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p*q
print(n)
e = 65537

c = pow(m,e,n)

pq = p*(q-1)
qp = q*(p-1)

print("c=",c)
print("n=",n)
print("pq=",pq)
print("qp=",qp)

'''
c= 8722269075970644434253339592758512788160408912707387632591552130175707843950684315083250494010055435391879036285103810263591951437829414438640307561645721347859659807138051841516634704123100270651976676182059252251162982609391666023674158274992400910869692389001622774140191223807887675081808561012755545464977015973615407965906513878979919700065923364884766974187303774330319143647840846354404070430118235352622445115153298578370521811697710289716188726587743282814946239856766713516166990341116198180068191759095913957606379780234116317390622824096667107736103270907349927467971817639795094030622157581511033950777
n= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074584935050067254029262890188260006596141011807724688556673520261743199388391094490191001701011230322653422314758778116196105077883955436582364267530633358016652912054880813710531145973799193443828969535902856467548523653920307742364119002349899553478815101092655897400295925170383678499125295006364960124859003
pq= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074488896197029704465200125337817646702009123916866455067019234171839614862660036737875747177391796376553159880972782837853473250804807544086701088829096838316550146794766718580877976153967582795248676367265069623900208276878140709691073369415161936376086988069213820933152601453587292943483693378833664901178324
qp= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074475956379708898904933143429835002718457573266164923043251954374464149976302585916538814746811455883837138715445492053610047383292461097590195481556557381952895539341802954749542143253491617052100969586396996063822508764438280468492894012685918249843558593322831683872737943676955669923498182824352081785243246
'''

分析解密

1. 根据n、pq、qp得到 φ(n):
   pq*qp = $p\ast (q-1)\ast q\ast (p-1)=n\ast (p-1)(q-1)=n\ast \phi (n)$

2. 根据e、φ(n)，求d
   使用gmpy2中的invert函数，根据$demod\phi (n)=1$可以求得e的逆元，即私钥d:
   d=gmpy2.invert(e,φ(n))

3. 根据c、d、n，解出明文m:
   m = pow(c,d,n) = $c^{d}modn$

4. 最后将明文m转换成bytes得到flag

脚本如下

from Crypto.Util.number import *
import gmpy2

'''
n = p*q
e = 65537
c = pow(m,e,n)
pq = p*(q-1)
qp = q*(p-1)
'''

e = 65537
c= 8722269075970644434253339592758512788160408912707387632591552130175707843950684315083250494010055435391879036285103810263591951437829414438640307561645721347859659807138051841516634704123100270651976676182059252251162982609391666023674158274992400910869692389001622774140191223807887675081808561012755545464977015973615407965906513878979919700065923364884766974187303774330319143647840846354404070430118235352622445115153298578370521811697710289716188726587743282814946239856766713516166990341116198180068191759095913957606379780234116317390622824096667107736103270907349927467971817639795094030622157581511033950777
n= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074584935050067254029262890188260006596141011807724688556673520261743199388391094490191001701011230322653422314758778116196105077883955436582364267530633358016652912054880813710531145973799193443828969535902856467548523653920307742364119002349899553478815101092655897400295925170383678499125295006364960124859003
pq= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074488896197029704465200125337817646702009123916866455067019234171839614862660036737875747177391796376553159880972782837853473250804807544086701088829096838316550146794766718580877976153967582795248676367265069623900208276878140709691073369415161936376086988069213820933152601453587292943483693378833664901178324
qp= 10466186506773626671397261081802640650185744558208505628349249045496105597268556020207175016523119333667851114848452038431498926527983706092607207796937431312520131882751891731564121558651246025754915145600686076505962750195353958781726515647847167067621799990588328894365930423844435964506372428647802381074475956379708898904933143429835002718457573266164923043251954374464149976302585916538814746811455883837138715445492053610047383292461097590195481556557381952895539341802954749542143253491617052100969586396996063822508764438280468492894012685918249843558593322831683872737943676955669923498182824352081785243246


phi = (pq * qp)//n   #除法使用地板除//得到整数，而传统除法和精确除法/得到的都是浮点数，会有溢出的问题
d = gmpy2.invert(e,phi)
print("d=",d)
m = pow(c,d,n)
print("m=",m)

flag = long_to_bytes(m)
print("flag=",flag)

#flag= b'flag{719014b3-c4e1-4f81-a7be-b4f0d65c9e10}'

2. baigeiRSA

题目描述

import libnum
from Crypto.Util import number
from secret import flag

size = 128
e = 65537
p = number.getPrime(size)
q = number.getPrime(size)
n = p*q

m = libnum.s2n(flag)
c = pow(m, e, n)

print('n = %d' % n)
print('c = %d' % c)

'''
n = 88503001447845031603457048661635807319447136634748350130947825183012205093541
c = 40876621398366534035989065383910105526025410999058860023908252093679681817257
'''

分析解密

1. n比较小，尝试直接分解pq

• 在线分解：http://factordb.com/
• yafu工具分解：
  • 进入yafu目录，运行yafu-x64，输入factor()分解命令；
  • 若n比较大，可以将大数存在p.txt里面，记得最后要换行再保存，然后再输入命令yafu-x64 “factor(@)” -batchfile p.txt
    或者yafu-x64 "factor(@)" -batchfile p.txt
    - 使用RAS-Tool工具

2. p,q可以直接计算φ(n)，然后根据m = $c^{d}modn$ = pow(c,d,n)解出明文
3. libnum.s2n(flag)是将字符串转换为十进制整数，使用libnum.n2s进行还原

脚本如下

import gmpy2
import libnum
n = 88503001447845031603457048661635807319447136634748350130947825183012205093541
c = 40876621398366534035989065383910105526025410999058860023908252093679681817257
e = 65537

#n比较小，尝试直接分解pq
p = 274539690398523616505159415195049044439
q = 322368694010594584041053487661458382819
phi = (p-1)*(q-1)
d = gmpy2.invert(e,phi) #p,q,e求d
m = pow(c,d,n)
print("m=",m)
print(libnum.n2s(int(m))

#m= 27060087196965709690728077779982651425716608910311549
#b'HSCTF{@Zh3n_Ba1_G3i!@}'

3.RSARSA

题目描述

nc访问：

emmm找了一下，是pwn结合crypto，先放放
解题链接：https://blog.csdn.net/figfig55/article/details/128508274