1.（2015期末）已知无环路有向图如图3.1,请在表2、表3中填写出各事件的最早发生时间、最迟发生时间、活动的最早、最迟开始时间，给出关键活动及关键路径。
从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动
拓扑排序：V1 V3 V2 V5 V4 V6 V8 V7 V9
| 顶点 | VE（i） | VL（i） |
|---|---|---|
| V1 | 0 | 0 |
| V2 | 6 | 6 |
| V3 | 4 | 6 |
| V4 | 5 | 8 |
| V5 | 7 | 7 |
| V6 | 7 | 10 |
| V7 | 6+1+9=16 | 16 |
| V8 | 6+1+7=14 | 14 |
| V9 | 6+1+7+4=18 | 18 |
| 活动 | E（i） | L（i） | L（i）-E（i） |
|---|---|---|---|
| a1 | 0 | 0 | 0 |
| a2 | 0 | 2 | 2 |
| a3 | 0 | 3 | 3 |
| a4 | 6 | 6 | 0 |
| a5 | 4 | 6 | 2 |
| a6 | 5 | 8 | 3 |
| a7 | 7 | 7 | 0 |
| a8 | 7 | 7 | 0 |
| a9 | 7 | 10 | 3 |
| a10 | 16 | 16 | 0 |
| a11 | 14 | 14 | 0 |
2.（2014真)给出判断一个有向图是否存在拓扑排序的算法:给出图-1所示有向图的拓扑序列。
依次选择入度为0的顶点输出，并且删除该顶点和这个顶点相关的所有边，重新上述过程故得到答案
1、2、3、4或者1、2、4、3
标准答案：
（1）在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出之；
（2）从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；
重复上述两步，直至全部顶点均输出或当前图中不存在无前驱的顶点为止。若出现后面这种情况，则说明不存在拓扑排序。
所给有向图的拓扑序列：①、②、③、④ 或 ①、②、④、③
3.（2020期)
(1）简述图的深度优先遍历算法
(2）给出下图以v1为开始结点的深度优先序列和广度优先序列
4.（2020期）（1）简述拓扑排序算法 (2）给出下图的一个拓扑排序序列
5.（2020期）
(1）简述求最短路径的Dijkstra算法
(2）给出下图各点到a点的最短路径
6. 求最小生成树的Prim算法和Kruskal算法有什么特点和区别
Prim算法和Kruskal算法都是从连通图中找出最小生成树的经典算法。从策略上来说，Prim算法是直接查找，多次寻找邻边的权重最小值，而Kruskal是需要先对权重排序后查找的。
所以说，Kruskal在算法效率上是比Prim快的，因为Kruskal只需一次对权重的排序就能找到最小生成树，而Prim算法需要多次对邻边排序才能找到。
Prim算法的实现过程
首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出最小生成树中各结点权重最小的边，并加到最小生成树中。（加入之后如果产生回路了就要跳过这条边，选择下一个结点。）当所有的结点都加入到最小生成树中后，就找出了这个连通图的最小生成树。
Kruskal算法的实现过程
Kruskal算法在找最小生成树结点之前，需要对权重从小到大进行排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，（如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边）。当所有的结点都加入到最小生成树中后，就找到了这个连通图的最小生成树。
7.（2019真）有n个人，m对朋友关系，朋友的朋友也是朋友，这样组成1个朋友圈，问怎么求有多少个朋友圈(实质就是无向图求连通分量)
题目：假如已知有n个人和m对好友关系R，若两个人是直接好友或间接好友（好友的好友是好友），则认为他们属于同一好友圈，请说明如何求出这n个人中有几个好友圈。例如：n=5,m=3,R={{1,2},{2,3},{4,5}},表示有5个人，1和2是好友，2和3是好友，4和5是好友，则1、2、3属于一个朋友圈，4、5属于另一个朋友圈，结果为两个朋友圈
深度优先遍历的次数
- 使用树结构描述题中问题，则其为一个典型的并查集问题：将n个人初始化形成一个含有n颗树的森林，之后根据好友关系判断两人是否属于同一集合，若不是则合并两个集合，最终得到的森林中含有的树的数目即为所求朋友圈个数。
2) 使用图结构描述题中问题：
(1) 将n个人作为图的n个结点，将m对好友关系作为图的边。
(2) 对该无向图，利用DFS或者BFS算法求解其连通分量的个数，即为所求朋友圈个数。
8.（2013真）已知加权有向图的邻接矩阵如下图所示，如需在其中一个顶点建立娱乐中心，请回答下列问题:
①利用Floyd算法（允许中转的问题）求出每对顶点的最短距离，并用矩阵表示;
②求每个顶点的偏心度;
③确定娱乐中心应选哪个顶点。
9.（2020期）
(1)简述最小生成树算法的prim算法
(2)给出下图以a为开始结点，按prim 算法过程生成的最小生成树
’
10.（2014期）Dijkstra最短路径算法是否能够给出一颗生成树?是否可以给出一颗最小生成树(MST)
Dijkstra最短路径算法能够给出一颗树。具体方法是:选择任意顶点，然后以该顶点为基准，每一次迭代可以求出一个点离该顶点的最短路径，这个最短路径就是应该保留的边，同时确保不会形成环。
Dijkstra最短路径算法每次不一定能生成最小树
chatgpt解析：
Dijkstra最短路径算法可以给出一颗生成树，但不一定能给出一颗最小生成树（MST）。
Dijkstra算法是一种用于计算单源最短路径的算法，它通过贪心策略逐步确定从起始节点到其他节点的最短路径。在每一步中，Dijkstra算法选择当前路径长度最短的节点，并更新与该节点相邻的节点的最短路径。这样，在算法执行完毕后，可以得到从起始节点到每个节点的最短路径。
当应用Dijkstra算法时，可以通过记录每个节点的前驱节点来构建一颗生成树，该生成树以起始节点为根节点，覆盖了从起始节点到所有其他节点的最短路径。这颗生成树被称为最短路径树。
然而，需要注意的是，Dijkstra算法仅适用于带有非负权重的图。对于带有负权重的图，Dijkstra算法可能无法得到正确的结果。另外，Dijkstra算法只能计算单源最短路径，而无法计算多源最短路径。
至于最小生成树（MST），它是一个无向连通图的生成树，其中包含了连接所有节点的边，并且总权重最小。Dijkstra算法并不是用于计算最小生成树的算法。常用的用于计算最小生成树的算法有Prim算法和Kruskal算法。
11.（2011期末）请举例说明为什么带负权值Dijkstra算法不能求最短路径
12.（2015真）简答 Floyd 算法的基本设计思想，试举例说明，为什么Floyd算法可以有负权值的边，但不能有包含负权值边组成的回路。 O（|V^3|）
13.（模拟）
14. (2022期末)
- 写出图的邻接矩阵
- 求从 a 出发的一颗 DFS 树
- 使用 Prim 算法求其最小生成树
15. (疑是21期末）
