一、Gridworld

        Gridworld是一个用于教授强化学习概念的简化的电子游戏环境。它具有一个简单的二维网格，智能体可以在其中执行动作并获得奖励。这个环境是有限的，因为它有一个明确的开始和结束状态，以及一组确定的动作和奖励。

        在Gridworld中，每个单元格代表一个状态，智能体可以在该状态执行四个可能的动作：向北、向南、向东或向西移动一个单元格。如果智能体执行的动作将它们移动到网格之外，它们的位置将保持不变，但它们将获得一个奖励1。另一方面，如果智能体从特殊状态A或B开始执行动作，它们将获得不同的奖励。

        从状态A开始，智能体执行的动作将使它们获得奖励+10，并将它们移动到A0单元格。类似地，从状态B开始，智能体执行的动作将使它们获得奖励+5，并将它们移动到B0单元格。

        通过这个简单的环境，学生可以学习强化学习的基本概念，如值函数、策略和最优解。此外，Gridworld还提供了用于评估和比较不同策略的工具，使学生能够更好地理解这些概念并应用它们来解决实际问题。

        在Gridworld图1中，使用了一个矩形网格来描绘一个简单的有限MDP（马尔可夫决策过程）的值函数。网格的每个单元格都对应于环境的一个状态。在每个单元格，有四个可能的动作：北、南、东、西，这些动作将确定性地将智能体移动到相应方向的一个单元格。如果动作会使智能体离开网格，那么其位置将保持不变，但也会获得一个奖励1。其他动作的奖励为0，除非它们将智能体从特殊状态A和B中移出。从状态A开始，所有四个动作都会产生奖励+10并将智能体移动到A0。从状态B开始，所有动作都会产生奖励+5并将智能体移动到B0。

图1

        假设智能体在所有状态下以相等的概率选择所有四个动作。图b显示了对于这个策略的值函数vπ，对于带折扣的奖励情况，折扣因子γ = 0.9。该值函数是通过求解方程计算得出的。请注意，靠近下边缘的负值是由于在该随机策略下，那里有很大可能性会撞到网格的边缘。状态A在该策略下是最好的状态，但其期望回报小于10，即其即时奖励，因为从A状态开始，智能体将被带到A0状态，从那里很可能会撞到网格的边缘。另一方面，状态B的估值超过5，即其即时奖励，因为从B状态开始，智能体将被带到B0状态，该状态具有正价值。从B0状态开始，由于可能撞到边缘而产生的预期惩罚（负奖励）超过了因可能撞到A或B而产生的预期收益。

二、高尔夫

        将打高尔夫球的过程表述为强化学习任务，我们会对每一击都施加一个惩罚（负面奖励），直到球进入洞中。状态为球的位置，一个状态的价值是，从此位置到球洞的击球次数。我们的行动是针对如何瞄准和挥动球杆的动作，当然，还包括选择哪种球杆。让我们假设这些都是给定的，只需要考虑球杆的选择，我们假设只能是推杆或驱动器。图2的上半部分显示了对于始终使用推杆的策略可能的状态值函数vputt(s)。在洞中的终端状态的价值为0。我们假设无论在球场的哪个位置，我们都可以推杆；这些状态的价值为e1。如果我们在绿地之外的位置，就无法通过推杆到达洞穴，因此其价值更大。如果我们可以通过推杆从某个状态到达绿地，那么该状态的价值必须比绿地的价值少1，即2。为了简化问题，我们假设可以非常精确和确定性地进行推杆，但范围有限。这给我们提供了图中标记为d2的尖锐等高线；位于该线与绿地之间的所有位置都需要恰好两次击球来完成这个洞。同样地，位于e2等高线以内的任何位置都必须具有价值3，依此类推，得到图中所示的所有等高线。推杆无法让我们从沙陷阱中脱身，因此沙陷阱的价值为负无穷大。总体而言，我们需要六次击球才能从发球台到达洞穴。

图2