前面定义了矩阵的列空间和零空间，那么如何求得这些子空间呢？

1. 计算零空间 Nullspace

A的零空间即满足Ax=0的所有x构成的向量空间

对于矩阵A进行“行操作”并不会改变Ax=b的解，因此也不会改变零空间 unchanged

第一步消元:

echelon 阶梯型 pivot columns and free columns

rank of A = # of pivots r=2 = # of pivot variables 

n-r = 4-2 =# of free variables

2. 特解 Special solutions 

当我们将系数矩阵变换为上三角阵U时，就可以用回代求得方程Ux=0的解--x1, x3可以通过回代得到 UX=0

对自由变量（free variable）x2和x4我们可以进行赋值

例如令x2=1而x4=0

可得一解

x=

取自由变量中x2=0而x4=1

可得到另一解

x=

矩阵A的零空间就是这些“特解” special solution 向量的线性组合所构成的向量空间

x=c+d which is a line

n-r=特解的数目=零空间的维数

3. 行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form （rref）

rref(A)

notice that  = I is in pivot rows/cols

在矩阵中主元行和主元列的交汇处存在一个单位阵。通过“列交换”，可以将矩阵R中的主元列集中在左侧，从而在左上角形成这个单位阵，而将自由列集中在矩阵的右侧。如果矩阵A中的某些行是线性相关的，则在矩阵R的下半部分就会出现一些完全为0的行向量

rref form

nullspace matrix ( columns = special solutions)

RN=0

Xpivot=-FXfree

eg.