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引言

复习到后期，去做到前面内容的题目时，有一些需要记忆的结论就比较模糊，比如微分方程的特解形式、施密特正交、各种分布的概率密度等等。我便把这些模糊的点都记录下来了，整理在一起，方便随时查阅

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一、高数

常见泰勒展开

基本形式：$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$ 常见展开式：$$e^x=\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots ,-1<x\le 1.$$ $$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,-\infty <x<+\infty .$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots ,-1<x<1.$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots ,-1<x<1.$$

$n$ 阶导数公式

分数 $1/(ax+b)$ 的 $n$ 阶导数：$$(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{a^{n}n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$$ $$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2}),(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$$

多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系

多元函数极值

无条件极值

条件极值

三角函数的积分性质

华里士公式（ “点火”公式 ）

首先是在区间 $[0,\pi /2]$ 上 $\sin ,\cos$ 可以互换，即 $${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx$$ 特别地，有华里士公式（点火公式）：$$I_n={\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx={\int }_0^{\pi /2}(\cos x{)}^{n}dx=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},I_0=\frac{\pi }{2},I_1=1.$$ 可以推广到更大的区间，在 $[0,\pi ]$ 上，由于 $\sin x$ 均为正，因此直接点火，乘个 2 就行。$${\int }_0^{\pi }(\sin x{)}^{n}dx=2{\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx.$$ $\cos x$ 由于一半区间为负，因此奇数次和偶数次，奇数次为 0 （可以记忆为奇函数对称为 0 ），偶数次同样是乘 2 。$${\int }_0^{\pi }(\cos x{)}^{n}dx=2{\int }_0^{\pi /2}(\cos x{)}^{n}dx$$ 对于在区间 $[0,2\pi ]$ 上，$\sin ,\cos$ 均有正有负，因此奇数次为 0 ，偶数次乘一个 4 。$${\int }_0^{2\pi }(\sin x{)}^{n}dx={\int }_0^{2\pi }(\cos x{)}^{n}dx=4{\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx.$$

特殊性质

在 $[0,\pi ]$ 上可以降到 $[0,\pi /2]$ 上；证明方法为拆区间，令 $t=x-\pi /2$ ，把后半部分换掉。$${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx,thenwehave,{\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_{\pi /2}^{\pi }f(\sin x)dx.$$ 多一个 $x$ 可以提到积分外面来，即 $${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=\pi {\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx.$$ 证明方法为令 $t=x-\pi$ 。

原函数与被积函数的奇偶性结论

• $f(x)$ 为奇函数可推出 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 为偶函数。
• $f(x)$ 为偶函数，不能得到 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 为奇函数，但可以得到 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 为奇函数。
• ${\int }_a^{x}f(x)dx$ 为奇/偶函数，一定可以推得 $f(x)$ 为相反的奇偶性。
• ${\int }_a^{x}f(x)dx$ 为周期函数，一定可以推得 $f(x)$ 也为周期函数，反之不一定。

球坐标变换公式

$r$ 表示几何体上一点到原点距离，从原点引一条射线看范围；$\theta$ 表示 $r$ 在 $xOy$ 平面的投影直线与 $x$ 轴正向的夹角，范围是 $[0,2\pi ]$；$\phi$ 表示和 $z$ 轴正向夹角，范围是 $[0,\pi ]$ ，想象喇叭开花。

变换公式为 $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},dxdydz=r^2\sin \phi drd\theta d\phi .$$

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二、

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写在最后