波特图(Bode Diagrams)

1、概述

上世纪30年代末，一位名叫 Hendrick Wade Bode 的美国工程师设计了一个著名的表示法来研究频域中的交流电路。 这些图现在在电子和自动化领域仍然非常有用，被称为波特图(Bode Diagrams)。

在本文中，我们将给出表示和阅读波特图的每个必要步骤。

首先，我们提出之前需要详细说明的每个必要概念。 因此，我们将回顾一下传递函数、增益和相位的概念。

本文的后续内容包括了解如何阅读这些图表，这些图表提供了有关未知电路的大量信息。

最后一部分展示了如何绘制一些最常见的电子电路的图表。 例如，此过程对于在手动用户中以特定电路的紧凑形式共享信息很有用。

2、定义

传递函数是在讨论波特图之前需要理解的基本概念。 考虑由其传递函数 $T(j\omega )$ 定义的任何线性电子电路，并在图1 中用一个方框表示，具有一个输入端和一个输出端：

图1：线性电子电路的四极表示

传递函数由 $V_{out}=T(j\omega )\times V_{in}$ 定义，其中 $V_{in}=|V_{in}|ej\omega t$。 有时，我们可以记下 $p$ 或 $s=j\omega$，这称为拉普拉斯变量。

从这个传递函数，可以计算出两个重要的参数：

第一个是增益/幅度 ($G$)，它是通过取该复函数的范数得出的：$G=|T(j\omega )|$。 为了绘制波特图，需要考虑以分贝 ($G_{dB}$) 为单位的增益：$G_{dB}=20\log (G)$。

增益$G_{dB}=0$表示输入和输出的范数相等$|V_{in}|=|V_{out}|$，称为单位增益。 当 $G_{dB}$ 趋于无限负值时，尽管存在输入，但观察不到输出。

第二个重要参数是输入和输出之间的相位差$(△\varphi )$。 该相位差由传递函数的参数给出：$arg(T(j\omega ))=△\varphi$。 这个等式来自这样的事实：如果我们考虑复数 z1/z2 的比率，则参数由分子和分母的参数之差给出，这证明了前面的公式： $arg(z_1/z_2)=arg(z_1)-arg(z_2)$。

3、波特图的呈现

电子电路的波特图由两个图组成，分别以对数刻度绘制增益 $G_{dB}$ 和相位差作为频率的函数。 这两个图都可以有两种表示形式，如图2所示：实数表示或渐近表示。

实曲线与范数的解析表达式和传递函数的参数相关联。 渐近表示是直线近似，也称为波特极点。 在本节中，我们研究简单串联 RC 低通滤波器的波特图，该电路在第四节中介绍。

图2：低通滤波器的实数和渐近表示

图2提供了很多信息，但为了使其更加清晰易读，我们在图3和图4中分别考虑增益图和相位图的真实表示，如下所示。

图3：增益图

增益图分为两个区域，分别标记为通带和阻带，其公共边界由截止频率 fc 定义，在本例中等于 10 kHz。 通带是增益恒定且等于 0 dB 的区域（在波特极点近似中），阻带是增益严格小于 -3 dB 并急剧下降的区域，该值和速率已注释 下文将详细介绍。

这个特定频率的特征是 $G_{dB}(f_c)=-3dB$，但为什么这个值如此相关呢？ 即使每个电路的传递函数和截止频率的表达式不同，在 $f_c$处幅度始终除以 $\sqrt{2}$：$|T(f_c)|=|T_{max}|/\sqrt{2}$。 当将该比率换算为dB时，得出：$20\log (1/\sqrt{2})=-3$。

该值的重要性来自于功率与幅度的平方成正比，因此当幅度除以 $\sqrt{2}$ 时，功率就除以 2。

截止频率定义了观察到一半功率损失的频率。

最后一个事实可以在图3 中进行评论，它确实强调了在 100 kHz 时增益为 -23dB。 由于在10kHz时增益为 -3dB，因此我们观察到每十倍频程损失 -20dB，也写作 -20dB/dec。 我们稍后将在第四节中看到该值是一阶滤波器的典型值。

我们还可以从下面图 4 所示的相位图中提取一些信息：

图4：相位图

这里相同的截止频率标志着电阻行为和电抗行为之间的边界。 在 $f_c$ 处，相位差确实等于-45°。 在 $f_c$ 之前，电路的行为更像是一个电阻器，在直流和低频状态下，它是纯电阻性的。 $f_c$ 之后，电容效应增加，并且在高频下，电路变得纯电抗。

4、常见的波特图

4.1 一阶滤波器

上一节介绍了串联RC低通滤波器的波特图，其电路如图5所示：

图5：串联RC低通滤波器

我们已经看到，该滤波器的特点是截止频率 $f_c=1/(2\pi RC)$，增益滚降为 -20dB/dec。 现在让我们考虑另一种可以通过图 6 所示的并联 RC 电路实现的滤波器：

图6：并联RC电路

可以看出，该电路的传递函数由方程 1 给出，其中 $p=j\omega$。

公式1：并联RC电路传递函数

当绘制与该传递函数相关的波特图时，可以清楚地看出并联 RC 电路是一个高通滤波器：

图7：并联RC高通滤波器的波特图

对于本例，我们选择与低通滤波器相同的 R 和 C 值，以便截止频率保持不变且等于 10 kHz。

关于增益图，我们可以说它是以截止频率值给出的垂直线为对称轴的低通滤波器的对称图。 通带和阻带反转，现在观察到正斜率，从 DC 状态到截止频率的速率为**+20dB/dec**。

事实上，每个一阶滤波器的特点是增益滚降或增加的绝对值为 20dB/dec。

从波特图的关联中，我们可以了解带通滤波器和带阻滤波器是如何制作的。 实际上考虑截止频率分别为 $f_{cl}$和 $f_{ch}$的低通和高通滤波器。 如果 $f_{cl}<f_{ch}$，则观察到带阻滤波器行为：

图8：低通和高通关联的增益图

在此示例中，$f_{cl}=10kHz$ 且 $f_{ch}=20kHz$，因此带阻宽度由 $△f=f_{ch}-f_{cl}=10kHz$ 给出。 谐振频率f0由截止频率的几何平均值给出：$f_0=\sqrt{(}{f}_{cl}+f_{ch})\approx 14kHz$。 带阻滤波器的增益图由这两条曲线的对数相加得出：

带阻滤波器实际上可以通过将 RC 高通滤波器与 RC 低通滤波器并联并为电阻器和电容器选择适当的值来实现，以便观察所需的行为。

带阻滤波器的双电路可以由相同的RC滤波器串联而成。 在这种情况下，截止频率必须遵守不等式 $f_{ch}<f_{cl}$：

图9：带通滤波器增益图

带宽和谐振频率的公式仍然适用于带通滤波器。

4.2 二阶滤波器

二阶滤波器的特征在于其传递函数的表达式中至少存在一项$p^2$ 。 该术语源于电路中存在两个电抗组件的事实。

我们已经在串联RLC电路和并联RLC电路的文章中介绍了分别制作二阶低通和高通滤波器的两个电路。 这些文章中还显示了它们相关的传递函数和波特增益图。

二阶滤波器的优点是具有绝对值 40dB/dec 的滚降（对于低通滤波器）或增加率（对于高通滤波器），因此可以更快地抑制不需要的频率。

例如对于一阶滤波器，二阶带阻和带通滤波器可以通过基本RLC低通和高通滤波器的并联或串联组合来实现。

5、总结

• 波特图是一种直观且有效的工具，用于表示电子滤波器的交流行为。 它们与可以计算增益和相位差的电路的传递函数相关。
• 可以通过一些实验方法绘制波特图，以研究和表征未知电路。 截止频率、带宽（对于带通滤波器）和斜率的测量有助于我们确定电路的阶数、组件和架构。
• 另一方面，基本滤波器的波特图知识对于预测电路的行为和设计定制滤波器至关重要。