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引言

前两篇文章，分别对基本的排队论概念如 Kendall 记号和三个常见的分布如普阿松分布、负指数分布等作了介绍。有了这些基础后，我们便可以排队系统进行分析，我们首先讨论标准的 $M/M/1$ 模型即（$M/M/1/\infty /\infty$ ）。

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一、模型特征及分析

标准的 $M/M/1$ 模型是指下列条件下的排队系统：

1. 输入过程 —— 顾客源无限，到达过程普阿松分布。
2. 排队规则 —— 一队，且队长无限制，先到先服务。
3. 服务机构 —— 一个服务台，各个顾客的服务时间是相互独立的，且服从相同的负指数分布。

此外，假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。

在分析标准的 $M/M/1$ 模型时，首先要求出系统在任意时刻 $t$ 的状态为 $n$ 的概率 $P_n(t)$ 其表示长为 $t$ 的时间内，系统内有 $n$ 个顾客的概率，它决定了系统运行的特征。

已知顾客到达时间服从参数为 $\lambda$ 的普阿松过程，服务时间服从参数为 $\lambda$ 的负指数分布，所以在区间 $[t,t+\Delta t]$ 内有以下三种情况：

1. 有一个顾客的概率为 $\lambda \Delta t+o(\Delta t)$ ；没有顾客到达的概率为 $1-\lambda \Delta t+o(\Delta t)$ 。
2. 当有顾客在接受服务时，1 个顾客被服务完离去的概率是 $\mu \Delta t+o(\Delta t)$ ，没有离去（仍在服务）的概率是 $1-\mu \Delta t+o(\Delta t)$ 。
3. 多于一个到达或离去的概率为 $o(\Delta t)$ ，可以忽略。

在时刻 $[t,t+\Delta t]$ ，系统中有 $n$ 个顾客（$n>0$），存在如下表所示的四种可能情况（到达或离去两个以上的不计，√ 表示发生一个，× 表示没发生）。

以上四种情况是互不相容的，所以 $P_n(t+\Delta t)$ 是各情况概率之和，只研究稳态的情形，可以得到：$$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1\\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_n,n\ge 1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 其中 $\lambda ,\mu$ 分别为到达率和服务率（单位时间内到达或服务的顾客数）。式 (1) 是关于 $P_n$ 的差分方程。它表明了各状态之间的转移关系，可以用下图（来源：知乎-运筹 OR 帷幄）表示。

在标准的 $M/M/1$ 模型中，到达率和服务率是不随时间变化的，故上图中的 ${\lambda }_1,{\mu }_1,\cdots$ 均为对应的常数 $\lambda ,\mu$ 。

由式 (1) 的第一个式子，可知 $P_1=(\lambda /\mu )P_0$ ，将其代入第二个式子，可以得到：$$\mu P_2=(\lambda +\mu )(\lambda /\mu )P_0-\lambda P_0⟹P_2=(\lambda /\mu {)}^2{P}_0$$ 同理，可推得 $P_n=(\lambda /\mu {)}^n{P}_0$ 。设 $\rho =\lambda /\mu <1$ ，保证队列不会一直排下去，由概率的性质有 $$\sum _{n=1}^{\infty }{P}_n=1\text{\hspace{1em}(2)}$$ 将得到的 $P_n$ 的关系代入，有 $$\sum _{n=0}^{\infty }{P}_n=P_0\sum _{n=0}^{\infty }{\rho }^n=P_0\frac{1}{1-\rho }=1$$ 于是我们可以得到 $$\{\begin{array}{l}{P}_0=1-\rho \\ P_n=(1-\rho ){\rho }^n\end{array}(n\ge 1,\rho <1)\text{\hspace{1em}(3)}$$ 这就是系统状态为 $n$ 的概率。

上述构造的$\rho$ 具有实际意义，其根据表达式不同，可以有不同的解释。当表示为 $\rho =\lambda /\mu$ 时，它是平均到达率与平均服务率之比；若表示为 $(1/\mu )/(1/\lambda )$ ，它是一个顾客的服务时间与到达间隔时间之比，称其为服务强度（Traffic intensity），或称为话务强度；$\rho$ 还可写为 $1-P_0$ ，表示服务机构的繁忙程度（1 减去顾客数为 0 的概率即有顾客的概率），所以又称为服务机构的利用率。

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二、系统指标

利用式 (3) ，我们可以算出排队系统的一些指标。

1. 在系统中的平均顾客数（队长的期望）

用 $L_s$ 表示排队系统中的平均顾客数，由概率论的知识，我们有 $$L_s=\sum _{n=0}^{\infty }n{P}_n=\sum _{n=0}^{\infty }n\cdot (1-\rho ){\rho }^n=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{\lambda }{\mu -\lambda }.$$

2. 在队列中的平均顾客数（队列长的期望）

用 $L_q$ 表示队列中等待的平均顾客数（队列长的期望）。$$L_q=\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)P_n=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=L_s-\rho =\frac{\rho \lambda }{\mu -\lambda }.$$

3. 在系统中顾客平均逗留时间

用 $W_s$ 表示顾客在系统中平均逗留时间。在 $M/M/1$ 情形下，顾客逗留时间服从参数为 $\mu -\lambda$ 的负指数分布，于是 $$W_s=\frac{1}{\mu -\lambda }.$$

4. 在队列中顾客的平均等待时间

用 $W_q$ 表示在队列中顾客的平均等待时间，其值为平均逗留时间减去一个平均服务时间，即 $$W_q=W_s-\frac{1}{\mu }=\frac{\rho }{\mu -\lambda }.$$

以上各式归纳如下：$$(1)L_s=\frac{\lambda }{\mu -\lambda },(2)L_q=\frac{\rho \lambda }{\mu -\lambda };(3)W_s=\frac{1}{\mu -\lambda },(4)W_q=\frac{\rho }{\mu -\lambda }.$$ 它们的相互关系如下：$$(1)L_s=\lambda W_s,(2)L_q=\lambda W_q;(3)W_s=W_q+\frac{1}{\mu },(4)L_s=L_q+\frac{\lambda }{\mu }.$$ 上式称为 Little 公式。

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写在最后

标准的 $M/M/1$ 模型还是相对简单些的，用一些基础的概率论和高数即可对各结论进行数学推导。