四、证明伽玛函数是阶乘的扩展

        为了做到这一点，我们需要证明方程 Γ（n） = （n - 1）！对于定义阶乘函数的所有 n 的正整数都成立。由于不可能检查每个值，我们可以利用数学归纳原理一次检查所有值。

        归纳证明的第一步是建立我们希望证明的命题：

        现在，我们需要证明我们的基本情况成立，即当 n = 1 时。将其代入 gamma 函数的表达式中并计算：

        因此，基本情况 P（1） 为真。

        归纳证明的下一步是归纳步骤，我们希望证明如果 P（k） 对某个正整数 k 成立，那么 P（k + 1） 也成立。为此，我们可以首先假设 P（k）： Γ（k） = （k - 1）！是真的。考虑到这一点，我们可以尝试求解 Γ（k +1）：

        这个积分要求我们通过让u = t^k和dv = exp（-t）dt来使用部分积分。这给出了以下内容：

        在倒数第二行中，我使用了我们的假设，即该命题适用于 P（k）。因此，我们刚刚证明，如果 P（k） 成立，那么 P（k + 1） 也会成立，并且由于我们的基本情况 P（1） 为真，根据数学归纳原理，任何正整数 n 的 P（n） 都必须为真。这表明，在正整数上，gamma 函数的行为确实与阶乘函数完全相同，如果我们考虑正整数以外的其他值，则可以证明它是阶乘的扩展。事实上，我们可以尝试使用 gamma 函数来尝试评估阶乘，例如 （1/2）！正如我将在下一节中介绍的那样。

五、计算（1/2）！

        现在，在继续之前，重要的是要清楚，我们现在使用阶乘的 gamma 函数定义来评估这一点，因为原始定义没有很好地定义非整数值，例如 1/2。考虑到这一点，我们可以将 3/2 代入 gamma 函数来计算 1/2 的阶乘：

        在第三步中，我利用了我们在归纳证明中展示的 Γ（k+1） = k Γ（k） 的事实。现在，右边的积分一开始肯定不明显，但我们可以通过使用 x = t^（1/2） 的代入将其转换为更熟悉的积分，得到 t = x² 和 dt = 2 t^（1/2）dx。将这两者代入，我们得到以下结果：

        最后一个积分是著名的积分的形式，称为高斯积分，可以通过将积分转换为极坐标中的双积分来解决。如果您不熟悉这一点，我在这篇文章中介绍了解决高斯积分的方法，所以我建议您检查一下。现在，由于从 -∞ 到 ∞ 的这个积分的解是π的平方根，因此从 0 到 ∞ 的积分必须是这个积分的一半，因为它是一个偶数函数。因此，我们可以得出以下结论：

        由于π在解决方案中，这当然是一个有趣且意想不到的结果。但是，重要的是要认识到这不是我们通常定义的阶乘，并且这仅在我们使用了扩展的伽马函数定义时才有效。此外，虽然我只研究了这个非整数有理数的例子，但 gamma 函数也是在所有复数值上定义的，其实部大于 0。事实上，我们实际上也可以使用一种称为复分析延续的技术，将域扩展到具有非正实部的（大多数）复数。如果您对这些进一步的扩展感到好奇，我绝对建议您在线对其进行进一步研究。感谢您的阅读。

六、gamma函数的python作图

########################
# f(x) = exp(-x) graph #
########################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(-2, 20, 100)
y = np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
# Show the plot
plt.show()
####################
# f(x) = x^z graph #
####################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 2, 100)
y1 = x**1.3
y2 = x**2.5 
y3 = x**3.8
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen')
plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen')
plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
# Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12)
# Show the plot
plt.show()
###############################
# f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph #
###############################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 20, 100)
y = x**3.8 * np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) =  x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)
# Add a grid
plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')
# Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper right', borderaxespad=1, fontsize=12)
# Show the plot
plt.show()

结果如下：