一起学数据结构（11）——快速排序及其优化

上篇文章中，解释了插入排序、希尔排序、冒泡排序、堆排序及选择排序的原理及具体代码实现本片文章将针对快速排序，快速排序的几种优化方法、快速排序的非递归进行解释。

1. 快速排序原理解析以及代码实现：

2. 如何保证相遇位置的值一定小于所对应的值：

3 优化最坏情况下快速排序的时间复杂度：

4. 对于快速排序代码书写格式的优化（挖坑法）：

5. 对于快速排序代码的另一种书写格式优化（前后指针法）：

1. 快速排序原理解析以及代码实现：

给定下面一个数组：

对于快速排序，其中心思想就是首先选取一个值，一般选择数组中最左边的数据，例如本数组中的 $6$ 。创建一个变量，来保存这个值所对应的下标，为了方便表达，将这个变量命名为 $key$ 。

在确定了 $key$ 之后，分别从两头遍历数组，定义两个变量用于遍历数组，其中， $left=0$ ， $right=n-1$ 。

对于遍历数组的过程，需要分成两种情况来查看。其中， $left$ 用于从左向右遍历数组， $right$ 用于从右向左遍历数组。当数组从左向右进行遍历时，一旦遇到比 $key$ 所对应的值大的数据，则停 $left$ 在这个数据的所对应的下标处。即：

当数组从右向左进行遍历时，一旦遇到比 $key$ 所对应的值小的数据，则 $right$ 停在这个数据的所对应的下标处。即：

在找到了符合上面规定的值后，交换两个值在数组中的位置：

接着继续向下遍历，并且重复之前的动作。当 $left$ ， $right$ 相遇时，停止循环，此时的数组可以表示为：

最后，将 $key$ 所对应的值，与此时 $left$ 或者 $right$ 所对应的值进行一次交换，便完成了整个流程，用图形表示为：

在进行了上面一整套流程后，此时的数组虽然还是无序，但是可以观察到， $key$ 所对应的值的右半部分的数组的值都大于 $key$ 所对应的值。 $key$ 左半部分数组的值都小于 $key$ 所对应的值。

对于上述流程，可以用下面的代码进行表示：

 //部分快排
 int PortSort(int* a, int left, int right)
 {
	 int key = left;
	 while (left < right)
	 {
		 //先从右边开始找小的
		 while( left < right && a[right] >= a[key])
		 {
			 right--;
		 }

		 //再从左边开始找大的
		 while(left < right && a[left] <= a[key])
		 {
			 left++;
		 }

		 //交换找到的值
		 Swap(&a[left], &a[right]);
	 }
	 Swap(&a[key], &a[left]);

	 return left;
 }

对于上述给出的代码中，需要注意两个点：

1.在进行遍历数组寻找值的时候，必须先从右边开始遍历找小于 $key$ 所对应的值的数据，再从左边找大于 $key$ 所对应的值的数据，对于原因将会在文章的后面进行探讨

2.在遍历寻找值的 $while$ 循环中，需要注意循环的两个条件，即 $left < right$ 并且 $a[right] >= a[key]$ ，前面的条件是为了防止下面的两种情况：若从左向右遍历时，不存在比 $key$ 对应的值大的数据，从右向左遍历时，不存在比 $key$ 对应的值小的数据。以上两种情况均会导致 $left,right$ 的范围超出数组下标的范围，对于第二个条件，如果不加上 $=$ ，一旦在遍历的过程中，遇到了与 $key$ 对应的值相等的值，会造成死循环。

完成了上述步骤后，数组依然是无序的，为了处理数组中其他的数据，需要利用到类似二叉树中递归的思想来实现：

对于上述数组，他的数组左半部分的数据都是小于 $key$ 所对应的值的，对于数组的右半部分的数据都是大于 $key$ 所对应的值的，因此在下面的递归中，需要以 $key$ 为分界线， $key$ 的左半部分为一组，右半部分为一组，对这两组值再次进行一次上面给出代码所对应的操作。

例如，对于左半部分：

此时 $key$ 所对应的值为 $3$ ，按照上述代码进行操作后，数组可以表示为：

随后，再以 $key$ 为分界线，分出左右部分，对于左右部分进行上述代码的操作，对于左半部分，进行一次操作后，可以表示为：

此时，再向下进行递归， $key$ 的左半区间不存在， $key$ 的右半区间只有一个值。因此，对于上面两种情况，视作递归结束的条件。

上面只是展示了每一次的递归中，数组的左半部分的情况，对于右半部分原理相同，这里不再进行赘述。当作伴部分，右半部分的递归都结束后，整个区间会变成有序的区间，即：

对于上述递归，可以用下列代码进行实现：

 void QuickSort(int* a, int begin, int end)
 {
	 if (begin >= end)
		 return;

	 int keyi = PortSort(a, begin, end);

	 QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	 QuickSort(a, keyi + 1, end);
 }

测试函数如下：

void TestQuickSort()
{
	int e[] = { 6,1,2,7,9,3,4,5,10,8 };
	int size = sizeof(e) / sizeof(int);
	QuickSort(e, 0,size-1);
	printf("快速排序：");
	ArrayPrint(e, size);
}

结果如下：

2. 如何保证相遇位置的值一定小于 $key$ 所对应的值：

上面说到，在进行遍历寻找值这一步骤时，一定要先从右边开始向左遍历来找到比 $key$ 对应的值小的值，再从左边向右开始遍历，来寻找比 $key$ 对应值大的值，原因如下：

例如对于上面给出的数组，对于 $left,right$ 相遇的前一步情况：

假设左边先进行遍历去寻找值，再从右边向左遍历来寻找值，则二者相遇的位置为：

此时，如果按照上面代码的内容对 $key$ 对应的值和 $left$ 位置对应的值进行交换，则：

此时，比 $key$ 对应的值大的值不只是只存在右边。

这里需要注意，先从右边往左边遍历的，对应的是 $key$ 的位置在数组的左端。当 $key$ 在数组的右端时，需要先从左边向右遍历。

3 优化最坏情况下快速排序的时间复杂度：

快速排序的时间复杂度一般都认为是 $O(nlogn)$ ，但是对于下面的一种情况：

前面说到，在快速排序中，当 $key$ 取左端的值时，应该优先从右边开始遍历，对于例子中这种完全升序，或者说大部分区间都是升序的情况，每次从右端进行遍历时，都必须遍历到数组的最左边。因此，对于一个有 $n$ 个数据的这样的数组来说，从右向左遍历的次数为 $n-1+n-1+n-3+.......$ 次，这种情况下的快速排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ 。为了优化这种情况，这里引入三数取中的方法。代码如下：因为原理就是简单的两数相比，所以不做过多解释：

 //三数取中
 int GetMidi(int* a, int left, int right)
 {
	 int mid = (left + right) / 2;
	 if (a[left] < a[mid])
	 {
		 if (a[right] > a[mid])
		 {
			 return mid;
		 }
		 else if (a[left] > a[right])
		 {
			 return left;
		 }
		 else
		 {
			 return right;
		 }
	 }
	 else//(a[left] > a[mid];
	 {
		 if (a[mid] > a[right])
		 {
			 return mid;
		 }
		 else if (a[left] < a[right])
		 {
			 return left;
		 }
		 else
		 {
			 return right;
		 }
	 }
 }

在构建了三数取中函数之后，需要对之前的快速排序代码进行修改。修改的部分为：首先在函数 $PortSort$ 的开头创建一个变量 $mid$ 用于接受三数取中函数 $GetMidi$ 的返回值。接着，让 $mid$ 对应的数值与后续 $key$ 下标对应的数据（即最左端，或者最右端）用交换函数交换即可。

4. 对于快速排序代码书写格式的优化（挖坑法）：

对于挖坑法，具体的实现原理如下：

首先还是确认 $key$ 以及 $key$ 所对应的值，例如在下面的例子中

（注：为了方便演示原理，下面的情况不包括三数取中，但是在书写代码时，使用三数取中的方法与上方的使用发放相同）

首先确定一个 $key$ ，这里按照左端处理，创建一个变量 $key$ ，令 $key = 6$ ，接着，确定 $key$ 所在的下标就是第一个坑位。在确认了第一个坑位后，与上面的快速排序相同，都需要先从右端开始遍历来找到比 $key$ 小的值，即：

随后，直接让 $right$ 所指向的值覆盖到 $hole$ 的位置，再让 $right$ 指向的位置变成新的坑，即：

再从左边向右进行遍历，找到比 $key$ 小的值，并且让这个值覆盖到坑位 $hole$ 中，再令下图中的 $left$ 成为新的坑位：

继续从右向左进行遍历，再从左向右遍历，直到 $left,right$ 相遇为止，即：

最后，再令二者相遇的位置赋值 $key$ 即可。然后再按照上面的思想递归即可。代码实现为：

//快排优化(挖坑法）
 int QuickDigSort(int* a, int begin, int end)
 {
	 int mid = GetMidi(a, begin, end);
	 Swap(&a[begin], &a[mid]);
	 int key = a[begin];
	 int hole = begin;
	 while (begin < end)
	 {
		 //先从右边开始找小的
		 while (begin < end && a[end] >= key)
		 {
			 end--;
		 }
		 a[hole] = a[end];
		 hole = end;
		 //再从左边开始找大的
		 while (begin < end && a[begin] <= key)
		 {
			 begin++;
		 }
		 a[hole] = a[begin];
		 hole = begin; 
	 }
	 a[hole] = key;
	 return hole;	
 }

void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
 {
	 if (begin >= end)
		 return;

	 int keyi = QuickDigSort(a, begin, end);

	 QuickSort2(a, begin, keyi - 1);
	 QuickSort2(a, keyi + 1, end);
 }

测试函数如下：

void TestQuickDigSort()
{
	int f[] = { 6,1,5,3,9,10,7,4,2,8 };
	int size = sizeof(f) / sizeof(int);
	QuickSort2(f, 0, size - 1);
	printf("快速排序(挖坑法)：");
	ArrayPrint(f, size);
}

运行结果如下：

5. 对于快速排序代码的另一种书写格式优化（前后指针法）：

对于前后指针法，就是通过控制两个指针，这里分别命名为 $prev$ , $cur$ 。通过控制这两个指针的动作时序来完成对于数组的排序，中心思想如下：

对于指针 $cur$ 的作用，就是用来寻找比 $key$ 小的值（ $key$ 的意义与上面相同），对于指针 $prev$ 的动作时序，分为下面两种情况：当 $cur$ 没有遇到比 $key$ 大的值时， $prev$ 一直紧跟着 $cur$ ，当 $cur$ 遇到比 $key$ 大的值后，令 $prev$ 的位置处于这个值的前面。

继续令 $cur$ 向后遍历，如果又找到了比 $key$ 小的值，则交换这个值，与 $prev$ 后面的值。

例如对于下面的数组：

按照上面所说的思想，在 $cur$ 没有遇到比 $key$ 大的值时， $prev$ 一直紧跟着 $cur$ 运动，即：

此时，再向下运动， $cur$ 遇到了比 $key$ 大的值，令 $cur$ 继续向后遍历，直至找到比 $key$ 小的值，令 $prev$ 停在比 $key$ 大的值的前面，即：

再向下运动后， $cur$ 遇到了比 $key$ 小的值，令 $prev$ 后面的值与比 $key$ 小的值交换，即：

接着继续向下遍历，此时 $prev,cur$ 指向的位置为：

此时再对两个指针指向的值进行交换，即：

在遍历结束时，数组如下：

在结束遍历后，交换 $prev$ 位置的值与 $key$ 的值，即：

交换完后，比 $key$ 小的值都位于 $prev$ 左边，比 $key$ 大的值都位于 $prev$ 右边。

总览上面的整个过程，当遇到了比 $key$ 大的值后，两个指针便开始拉开差距。此时 $cur$ 每次向后遍历，都会找到一个比 $key$ 大的值，并且形成一个比 $key$ 大的值的区间，在其期间， $prev$ 一直保持不动，直到 $cur$ 遇到一个 $key$ 小的值， $prev$ 在向后指向第一个比 $key$ 大的值并且交换，此后 $cur$ 每找到一个 $key$ 小的值，都会把之前 $key$ 大的值置换到后面，把 $key$ 小的值置换到前面。

代码如下：

 //快速排序(前后指针法)
 int QuickTailSort(int* a, int begin, int end)
 {
	 int key = begin;
	 int prev = begin, cur = begin+1;
	 while (cur <= end)
	 {
		 if (a[cur] < a[key])
		 {
			 Swap(&a[++prev], &a[cur]);
		 }
			 cur++;;
	 }
	 Swap(&a[key], &a[prev]);
	 return prev;
 }

测试函数如下：

void TestQuickTailSort()
{
	int g[] = { 5,1,6,9,3,10,4,7,2,8 };
	int size = sizeof(g) / sizeof(int);
	QuickSort3(g, 0, size - 1);
	printf("快速排序(挖坑法)：");
	ArrayPrint(g, size);
}

运行结果如下：