哈夫曼树

1. 结点的权：有某种显示含义的数值（如：表示结点的重要性等）

2. 结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该节点上权值的乘积。

3. 数的带权路径长度：树种所有叶子结点的带权路径长度之 和（WPL，Weighted Path Length）
   $$WPL=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

1. 构造哈夫曼树

给定n个权值分别为w₁, w₂…w_n的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

1. 首先将这n个结点分别视作n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。
2. 在森林中选取两棵==根结点权值最小的树==作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3. 重复选树的过程，知道森林只剩下一棵树

下面是构建哈夫曼树的过程：

2. 哈夫曼树的性质

1. 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大

2. 哈夫曼树的结点总数为2n -1（n个结点构建哈夫曼树，会创建n-1个新结点，所以一共有2n-1个结点）

3. 哈夫曼树中不存在度为1的结点。

4. 哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优（带权路径长度最小的树就是哈夫曼树，’最‘当然相等）

   上面那道题另外一种构建哈夫曼树的方法为：

   

   计算两棵哈夫曼树，会发现WPL的值一致

3. 哈夫曼编码

• 可变长度编码，对不同字符采用不等长的二进制位表示。
• 前缀编码：没有一个编码时另一个编码的前缀

用哈夫曼树得到的编码方案叫哈夫曼编码，并且哈夫曼编码时前缀编码

具体：对不同的字符赋予权值，就得到了带权的结点，相应构建哈夫曼树。每一个字符对应哈夫曼树的叶子结点，规定查找路径向左为编码1，向右为编码0。该叶子的查找路径就对应了字符的唯一编码。

下面时哈夫曼编码的案例：可以看到同一权值的结点能构造的哈夫曼树不唯一，对应的哈夫曼编码也是不唯一的！

对使用频率高的字符赋予较高权值，对应哈夫曼树种权值高的结点查找路径更短，相应的编码也更短，从而实现文件压缩！

提到这里有人想说为什么非得用哈夫曼树？结点作为中间结点出现，也能对应唯一编码呀？但这样的编码并非前缀编码，当对一大段字符进行解码时，由于不是前缀编码，会出现解码歧义！如下，同一编码有两种解释