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论文来源：（2020）Knapsack polytopes: a survey
作者：Christopher Hojny 等人

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六、Valid inequalities, separation and computations 有效的不等式，分离和计算

前几章集中讨论了背包问题的强不等式，即最小覆盖不等式的(提升)。在实践中，一个重要的方面是生成违规有效不等式所需的计算工作量。在这种情况下，经常需要在运行时和不平等的强度之间进行权衡。此外，如果将强不等式应用于分支-切割方法(例如，如果它们是密集的)，那么强不等式(在它们是面定义的意义上)不一定是最好的。

从背包生成的切割平面对于基于分支和切割的算法的良好性能是非常重要的。除了混合整数舍入和Gomory混合整数切割外，背包切割是最重要的切割平面类别[如果关闭背包分离，CPLEX 12.5的性能会降低14%(受影响实例的35%)，参见Achterberg和Wunderling(2013)]。

在本章中，我们提出了几个有效不等式的家族，并强调了与这些不等式的生成相关的几个计算方面，如果我们要求它们切断当前的LP松弛解 $x^{\ast }$ 这种方法由克劳德等人(1983)首创，并由许多研究人员进一步发展，如下所述。

Cover inequalities 覆盖不等式：分支-切割代码中大多数生成的不等式的基础是(最小)覆盖不等式(CIs)。结果表明，覆盖不等式的分离问题是np难的，见Ferreira(1994)和Klabjan等人(1998)。然而，克劳德等人

(1983)已经注意到这个问题可以写成背包问题

因此，如果权重 $a$ 和 $\beta$ 为整数，则可在 $O(n\beta )$ 伪多项式时间内求解。

在实践中，覆盖通常是启发式地发现的，例如，通过贪婪地以 $\left(1-x_j^{\star }\right)/a_j$ , 具体参照 Crowder 。(1983)。

在实践中，保险不平等几乎总是被消除的。一种简单的可能性是考虑扩展覆盖不等式(ECI)，见(3)。Gabrel和Minoux(2002)提供了ECI的精确分离算法。Kaparis和Letchford(2010)提出了一种 $O(n\beta )$ 时间的积分权重算法，并针对同一问题提出了几种启发式算法。

Lifted cover inequalities 提升的覆盖不等式：第五章中描述的提升过程产生简单提升的覆盖不等式(9)。Gu等人(1999a)表明，简单lci的分离问题是np难的。Hunsaker和Tovey(2005)在实践中调查了这些不平等的强度。他们表明，即使将所有简单的 LCIs 都添加到一个背包问题中，也存在需要在分支绑定树中使用指数级节点来解决问题的实例。请注意“这个结果不是由二元背包问题的np -硬度所暗示的，因为这些问题的覆盖不等式分离是np -硬的”(Hunsaker和Tovey 2005, p. 219)。

如5.2节所述，向上和向下提升可以产生可能更强的不等式(14)。Gu et al(1998)对Zemel(1989)的算法进行了改进，得到 $\mathcal{O}\left(|C|n^3\right)$ 时间内的 down-lifting 。

如果考虑按顺序提升覆盖不等式，则必须固定一系列提升变量。例如，Hoffman和Padberg(1991)建议首先用 $x_j^{\star }>0$ ，则 $D=\left\{j\in C:x_j^{\star }=1\right\}$ ，最后，用 $x_j^{\star }=0$ 。Gu等人(1998)提出了另一种启发式方法;另见Martin(1998)。请注意，可以使用不同的(最小)覆盖开始，并且在解除之前可能不会违反相应的覆盖不等式。

Gu等人(2000)讨论了同时举升的各个方面，特别是举升函数的选择。

Merged cover inequalities 合并覆盖不等式：假设 $C_1$和 $C_2$ 是 $a^{\top }x\le \beta$ 的两个覆盖。那么，不等式 $x\left(C_1\right)\le \left|C_1\right|-1$ 和 $x\left(C_2\right)\le \left|C_2\right|-1$ 对于 $P$ 是有效的，但不一定定义P的面。在这种情况下，为了加强这两个不等式，Hickman和Easton (2015a)建议,如果 $\left|C_1\cap C_2\right|\le 1$ ，则将这两个不等式合并为一个新的不等式。如果 $\left|C_1\cap C_2\right|=1$ ，则设 $p$ 为该交集中的唯一元素。否则，设 $p\in C_1$ 是任意的。

由于 $p$ 在每一个可行解中 $x_p\le 1$ ，所以归并的思想是替换 $x_p$ 在 $x\left(C_1\right)\le \left|C_1\right|-1$ by $\frac{1}{|C_2|-1}x\left(C_2\right)\le 1$ 中的出现，从而得到不等式

当然，这个不等式不一定对p有效。因此，Hickman和Easton (2015a)给出了充分的标准来证明合并后的不等式是有效的。此外,他们为合并两个一般有效不等式提供一个泛化。Hickman和Easton (2015b)给出了数值实验，证明了合并覆盖不等式的有效性。

(1, k)-Configurations：一个集合 N ∪ { t } N \cup\{t\} N∪{t} 且 $N⊊[n]$ 和 $t\in [n]\backslash N$ , k ∈ { 2 , … , ∣ N ∣ } k \in\{2, \ldots,|N|\} k∈{2,…,∣N∣} 被称为 (1, k)-Configurations。 如果 $a(N)\le \beta$ ， Q ∪ { t } Q \cup\{t\} Q∪{t} 是每个 $Q\subseteq N$ 且 $|Q|=k$ 的最小覆盖。Padberg(1980)证明了对于任意**(1, k)-Configurations** N∪{t}， (1, k)-Configurations不等式：

对P有效，并定义了背包多面体约束的一个面到 N ∪ { t } N∪\{t\} N∪{t}。此外，Gottlieb和Rao(1988)在两个不相交的**(1, k)-Configurations**上提供了定义P的facet的充要条件。

示例42：考虑 K = { x ∈ { 0 , 1 } 4 : 3 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 + 7 x 4 ≤ 14 } K=\left\{x \in\{0,1\}^4: 3 x_1+5 x_2+6 x_3+7 x_4 \leq 14\right\} K={x∈{0,1}4:3x1​+5x2​+6x3​+7x4​≤14} 。然后一个 (1, 2)-Configurations 由 n = { 1 , 2 , 3 } n =\{1,2,3\} n={1,2,3} 和 $T=4$ 给出，因为 { 4 } \{4\} {4} 与 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 中的任意两项的并集形成了一个最小覆盖。

如果 $k=|N|$ ， 则一个 (1, k)-configuration是一个最小覆盖。由于最小覆盖不等式的分离是np难的，Ferreira等人(1996)推测(1,k)-构形不等式的分离问题也是np难的。出于这个原因，他们提出了启发式分离这些不等式。然而，这一猜想缺少一个证明，因此，分离复杂性是开放的。

Coefficient increased cover inequalities：给定一个(不一定是最小的)覆盖C，经典的提升过程通过增加不包含在C中的变量的0系数来强化覆盖不等式 $x(C)\le |C|-1$。Dietrich和Escudero(1992)描述了强化不等式的另一种方法。它们还允许增加覆盖变量的系数;它们的强化过程在 $\mathcal{O}(n\log (n))$ 时间内运行。

Lifted pack inequalities：基于 Weismantel(1997)的想法， Atamtürk(2005)考虑了pack不等式。集合 $P^{\prime }\subseteq [n]$ 是一个pack，如果 $a\left(P^{\prime }\right)\le \beta$ 。然后是pack不等式

是有效的。它由 $x_j\le 1$ 的上界支配。然而，解除包不平等(LPIs)并不一定是主导的。有关提升过程的详细信息，请参阅Atamtürk(2005)。

示例43：(继续示例5)考虑背包不等式的运行示例 $4x_1+5x_2+6x_3+7x_4+9x_5\le 13$ 。一个包由 P ′ = { 1 , 5 } P^{\prime}=\{1,5\} P′={1,5} ，不等式为 $4x_1+9x_5\le 13$ 。提高 $x_2$ 收益率

这产生了解除的包不等式 $4x_1+9x_2+9x_5\le 13$ ，它似乎不受任何解除的盖不等式的支配。

注意，将 $x_3$ 提升到pack { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2} 中得到 $4x_1+5x_2+4x_3\le 9$ ，这是由最小覆盖不等式 $x_1+x_2+x_3\le 2$ 所决定的。因此，并不是所有取消的pack不平等都同样有用。

Weight inequalities：Weismantel(1997)给出了LPIs的一个特殊例子。设 $r=\beta -a\left(P^{\prime }\right)$ 为填料 $P^{\prime }$ 的剩余容量。然后将带 $a_j>r$ 的系数向上提升，得到所谓的Weight inequalities(WIs)：

Weismantel还提出了权重不等式的一种变体，通过减少包中一个变量的系数，并修改 $[n]\backslash P^{\prime }$ 中的变量的系数。这类更大的不等式包含权重不等式，Weismantel证明了它可以在伪多项式时间内分离出来。他的算法也可以用来分离权值不等式本身。

对于积分权重，Kaparis和Letchford(2010)将运行时间改进为 $\mathcal{O}((n+\bar{a})\beta )$ ，其中 a ˉ = max ⁡ { a 1 , … , a n } \bar{a}=\max \left\{a_1, \ldots, a_n\right\} aˉ=max{a1​,…,an​} ，并设计了一个有效的启发式。WIs 的分离问题的复杂性似乎是开放的，尽管Martin(1998)声称更一般的版本是np难的。

Atamtürk(2005)指出，使用超可加函数可以获得更强的LPIs。

示例44：在运行的示例中，使用pack{1,5}得到 $r=0$ 。因此，它的重量不等式就是原来的背包不等式。但是，pack{1,2}的剩余容量 $r=13-9=4$，权值不等式为 $4x_1+5x_2+2x_3+3x_4+5x_5\le 9$ 。

注意，这并不等于相应的解除包不等式。

进一步的不等式是Weismantel(1997)的扩展权不等式，它基于三个相互不相交的集合 $T,I$, and { k } \{k\} {k} 。为简洁起见，我们用 $I=\varnothing$ 来呈现这个版本。在这种情况下，$P^{\prime }=T$ 是一个pack和 $a\left(P^{\prime }\right)+a_k>\beta$ 。不等式：

这样的不等式可以被解除以获得被解除的扩展权不等式(LEWIs)。对于给定的扩展重量不等式，Weismantel(1997)证明，只要背包数据是积分的，提升系数可以在多项式时间内计算出来，计算结果见Martin(1998)。

示例45：考虑背包不等式 $2x_1+2x_2+2x_3+4x_4\le 7$ 。带着 pack P ′ = { 1 , 2 , 3 } P^{\prime}=\{1,2,3\} P′={1,2,3} 且 $r=1$ ， $k=4$


扩展的权值不等式 $x_1+x_2+x_3+2x_4\le 3$ ，这是facet定义的，但不是一个提升的覆盖不等式。

Gomory cuts：让一个 $a^{\top }x\le \beta$ 为n维背包不等式，令 $J\subseteq [n]$ 。Glover等人(1997)建议使用Gomory割

其中 λ ∈ R + J × { 0 } \lambda \in \mathbb{R}_{+}^{J \times\{0\}} λ∈R+J×{0}​ ，作为切割平面。基于代理分析，他们表明这些切割平面可以在多项式时间内分离。此外，他们展示了如何加强这些切割面，他们认为这些加强不能通过经典的提升程序找到。

Park和Lee(2011)提出了一种在伪多项式时间内运行的背包多形体(和固定电荷背包多形体)分离Gomory切割的精确方法。

Lee(2012)给出了一种有效的启发式方法来分离这些不等式。

Exact separation：Boyd (1992,1993a, 1994)开发了一种算法，通过分离和优化的等价来精确分离背包多面体的不等式。

另一种使用极性概念的精确分离方法由Boccia(2006)描述，由Kaparis和Letchford(2010)陈述。Y an和Boyd(1998)也考虑了混合整数背包集。Kaparis和Letchford(2010)对0/1情况和Fukasawa和Goycoolea(2011)对混合整数情况进行了改进和扩展;更多信息请参阅Goycoolea(2006)和Fukasawa(2008)博士论文。Fukasawa和Goycoolea还考虑了由场景行产生的背包——注意，所有剩下的方法都只使用原始行。V asil 'ev (= V asilyev) (V asilyev 2009)引入了一种不同的实现，并应用于广义分配问题，另见Avella等人(2010)的广泛计算研究。Avella等人(2013)考虑将连续变量聚合为单个变量的MIPs。V asilyev等人(2016)已经改进了背包精确分离的实现。

Computations：Wolter(2006)与框架SCIP进行了对比，得出LEWIs ($I=\varnothing$)对对偶界的影响最大。此外，同时提升与顺序LCIs无显著差异。

Kaparis和Letchford(2010)比较了不同的精确和启发式背包分离程序与精确分离程序。在稀疏MIPLIB实例的子集上，如果使用启发式，LCIs可以用很少的计算工作量缩小大量的差距。

此外，它们比ECIs或简单的LCIs表现更好。在这个测试集中，wi和LPIs的性能较差，ECIs和简单LCIs的性能非常相似。然而，在密集多维背包实例的测试集上，LPIs的性能明显优于WIs和LCIs。

Fukasawa和Goycoolea(2011)对这些实验进行了补充，比较了MIPLIB病例中mir -闭合的相对强度和背包切口的精确分离。他们观察到，通常有很大一部分差距是由MIR不等式弥补的，因此很难改进它们。

(Q12) 分离**(1, k)-Configurations**、提升包、重量和提升扩展重量不等式的复杂度是多少?

(Q13) 补充变量是否有助于加强类似于补充混合整数舍入的不等式，见Marchand和Wolsey (2001)?

(Q14) 给定一个任意不等式，识别它是否定义了背包多面体的一个方面的复杂性是多少，即，判断它是否有效且存在n个仿射独立点满足它的相等的复杂性是多少?

关于问题(Q14)，复杂性类 $D^P$ 是由Papadimitriou和Y annakakis(1984)提出的，包含了NP和coNP中语言交叉形成的语言。Papadimitriou和Wolfe(1988)提出了识别旅行推销员多面体的facet为 $D^p$ 完备的问题。因此，Hartvigsen和Zemel(1992)推测对背包面的识别也是 $D^p$ 完备的。

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七、Complete linear descriptions of particular knapsack polytopes 特定背包多形体的完整线性描述

为了找到背包多形体的完整线性描述，我们提出了两种方法:在第7.1节中构造了扩展公式，在第7.2节中我们考虑了已知原始空间中完整线性描述的特殊情况。

7.1 Extended formulations

前面论述的很大一部分考虑了通过线性不等式系统对背包解的凸包的描述，即找到 P = { x ∈ R n : A x ≤ b } P=\left\{x \in \mathbb{R}^n: A x \leq b\right\} P={x∈Rn:Ax≤b} 的某个矩阵A和向量b。解决寻找这样一个系统及其可能的指数大小的困难的一种方法是考虑一个高维表示，它可以投射到P上，即 $P=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:\exists y\in {\mathbb{R}}^{d}Ax+By\le b\right\}$ 。

这种高维多面体称为初始多面体的扩展形式。

不幸的是，引入额外变量的可能性通常不允许为背包多面体找到精确的多项式大小的公式，因为在任何扩展公式中都存在背包多面体 $P\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 需要 $\Omega \left(2^{\sqrt{n}}\right)$ 多个不等式，参见Pokutta和Vyve(2013)。然而，Bienstock(2008)能够证明，对于每个 $\epsilon \in (0,1)$ ，存在一个ε-近似扩展公式 $\mathcal{O}\left({\epsilon }^{-1}{n}^{2+\lceil {\epsilon }^{-1}\rceil }\right)$

如果 P ∩ { 0 , 1 } n = Q ∩ { 0 , 1 } n P \cap\{0,1\}^n=Q \cap\{0,1\}^n P∩{0,1}n=Q∩{0,1}n ，则公式 $Q=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:\exists y\in {\mathbb{R}}^{d}Ax+By\le b\right\}$ ，则称为ε-近似扩展式

对所有 $w\in {\mathbb{R}}^n$ 都成立。请注意，Bienstock的扩展公式对于任何固定的ε都是n的多项式大小，但在逆近似质量 $\frac{1}{\epsilon }$ 中呈指数增长。此外，虽然ε-近似公式存在于扩展空间中，但Faenza和Sanità(2015)证明了在原始空间中一般不存在n大小多项式的ε-近似公式，显示了扩展公式的力量。

寻找背包多面体扩展公式的一种可能性是利用背包问题可以通过动态规划来解决。对于承认动态规划方案的一般问题，Martin等人(1990)推导了这些问题解集的扩展公式。在下面，我们提出了背包问题的扩展公式，其中我们遵循Conforti等人(2010)的介绍。

考虑0/1背包问题 max ⁡ { c ⊤ x : a ⊤ x ≤ β , x ∈ { 0 , 1 } n } \max \left\{c^{\top} x: a^{\top} x \leq \beta, \quad x \in\{0,1\}^n\right\} max{c⊤x:a⊤x≤β,x∈{0,1}n} , 对于积分权值 $a\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$ and $\beta \in {\mathbb{Z}}_{+}$ 。对于每个整数 $0\le {\beta }^{\prime }\le \beta$ 和 $k\in [n]$ ，则定义值函数

显然，要解决背包问题，我们需要计算 $f(n,\beta )$ 。这可以用Bellman方程来实现

伴随着 $f\left(0,{\beta }^{\prime }\right)=0$ 且 $f\left(k,{\beta }^{\prime }\right)=-\infty$ if ${\beta }^{\prime }<0$

该动态规划算法等价于在图 $\left(V,A^0\cup A\right)$ 上求一条从 $v_{0,0}$ 到 $v_{n,\beta }$ 的最小权值路径，节点为 $v_{k,{\beta }^{\prime }}$ for $k\in [n{]}_0,0\le {\beta }^{\prime }\le \beta$ ，弧有两种类型。弧子集 $A^0$ 由 $\left(v_{k-1,{\beta }^{\prime },}{v}_{k,{\beta }^{\prime }}\right)$ ，权值为0，$k\in [n]$ and ${\beta }^{\prime }\in [\beta {]}_0$ 。弧子集A包含弧 $\left(v_{k-1},{\beta }^{\prime }-a_k,v_{k,{\beta }^{\prime }}\right)$ 的权重 $c_k$ , $k\in [n]$ 和 β ′ ∈ { a k , … , β } \beta^{\prime} \in\left\{a_k, \ldots, \beta\right\} β′∈{ak​,…,β}。

将Martin等人(1990)的结果应用于此图，得出以下定理，其中y变量模型是否在最小权值路径上使用弧。

定理46：设 $a\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$ and $\beta \in {\mathbb{Z}}_{+}$ 。给出了 $P^{a,\beta }$ of $\mathcal{O}(n\beta )$ 的推广公式


其中 ${\delta }^{-}(v)$ 和 ${\delta }^{+}(v)$ 分别是节点 $v$ 的进弧和出弧的集合。

对于特定的背包多面体，即所谓的orbisacks(在第7.2节中有更详细的描述)，Loos(2011)展示了如何使用基于动态规划图的扩展公式来计算原始空间中的完整线性描述。然而，一般来说，这个扩展的公式太复杂，无法计算到原始x变量的投影，或者太大，在实践中没有用处。

(Q15) 背包问题承认一个完全多项式的时间近似格式，但背包多形体是否也承认一个ε-近似的扩展公式，其大小在 $n$ 和 $\frac{1}{\epsilon }$ 之间多项式增长?

7.2 Complete linear descriptions 完整的线性描述

现在我们讨论一些特殊情况，在这些情况下，通过利用特定的组合结构可以得到完整的线性描述。

Weakly super-increasing knapsack polytopes：对于每一个 $i\in [n]$ ，如果 $a([i-1])\le a_i$ ，例如，对于每一个i∈[n]，如果 $a_i=2^i$ ，则一个背包称为弱超递增。Laurent和Sassano(1992)研究了这种背包，他们证明弱超增长背包多形体完全由盒约束和 $O(n)$ 最小覆盖不等式描述。这些封面可以显式地构造。

Sequential knapsack polytopes：一个背包被称为顺序背包，如果 $a_i$ 对于每一个 $i\in [n-1]$ 是 $a_i+1$ 的除数。除了 $a_i=2^i$ 外，序列背包的另一个例子是 $a_i={\prod }_{j=1}^{i}j$ 。Pochet和Weismantel(1998)提供了序列背包多面体的完整线性描述。描述中包含了一个不等式，对于子集 $W\subseteq [n]$ 的每一个组合，对于W的分区 $B=B_1\cup \cdots \cup B_m$ ，对于 $[m]$ 的一个置换，因此是非常大的。该公式的分离复杂性是一个悬而未决的问题。

One coefficient：背包的不等式只有一个重量，即 $a=(\lambda ,\dots ,\lambda {)}^{\top }$ ， $\lambda \in \mathbb{N}$ ，等价于一个基数约束 $1^{\top }x\le \lfloor \beta /\lambda \rfloor$ 完整的描述是由这个单一的不等式和平凡的不等式。

Two coefficients：背包的不等式有两个不同的系数，即存在 $k\in [n]$ ，使得背包不等式由

对于 $\lambda ,\mu$, 和 $\beta \in \mathbb{N}$ ，由Weismantel(1996)研究;这包括一个系数的特殊情况，如果 $\lambda =\mu$ 。他提出了一个指数大小的完整线性描述，由八个不等式族组成。该公式的分离问题在多项式时间内可解。Dahl和Foldnes(2003)处理了 $\lambda =1$ 的特殊情况，他们证明了在这种情况下，四个不等式族通过完全对偶完整给出了一个完整的线性描述。Hartmann(1994)表明，在这种情况下，背包多形体的完整线性描述可以在线性时间内分离出来。

Small and large coefficients：Bader等人(2018)考虑了背包不等式 $a^{\top }x\le \beta$ ，其系数相对于右边不是相对小就是相对大。

设 $n,k\in \mathbb{N}$ ，且 $3\le k\le n$ , s ∈ { k , … , n } s∈\{k,…,n\} s∈{k,…,n}。假设对于每一个 $i\in S:=[S]$ ，系数满足 $\frac{\beta }{k+1}<a_i\le \frac{\beta }{k}$ ;对于每一个 i ∈ L : = { s + 1 , … , n } i \in L:=\{s+1, \ldots, n\} i∈L:={s+1,…,n} ，系数满足 $\frac{k-1}{k+1}\beta <a_i\le \beta$ 。

然后Bader等人提出了以下由 $a^{\top }x\le \beta$ (无证明)：

其中 $i(R)=\min R$ 是 $R$ 中系数最小的一项的系数 $a_{i(R)}$ 。

(1, k)-configurations：回顾第六章中(1,k)-configurations的定义。Padberg(1980)指出，如果 $N=[n-1]$ 和 $t=n$ 形成一个**(1, k)-configurations** w.r.t.，则背包不等式 $a^{\top }x\le \beta$ ，(1, k)-configurations 不等式的完全线性描述为：

对于每个子集 $S\subseteq [n-1]$ ，$k\le |S|$ 以及盒约束和 $a^{\top }x\le \beta$ 。这个结果也扩展到一般的包装或多维背包问题。

在系数差距Weismantel(1997)考虑背包给出

其中，$N_j$ 是 $j\in [\beta ]$ 中权重为 $j$ 的所有项的集合。他可以对这两种特殊情况推导出完全的线性描述

(a) $N_j=\varnothing$ for all $1<j\le \lfloor \frac{\beta }{2}\rfloor$

(b) $N_j=\varnothing$ for all $1<j\le \lfloor \frac{\beta }{3}\rfloor$ and $N_j=\varnothing$ for all $j\ge \lfloor \frac{\beta }{2}\rfloor +1$

这些特殊情况的例子如下

(a) $a=(1,1,5,7,7,8{)}^{\top },\beta =9$

(b) $a=(1,1,1,4,4,5{)}^{\top },\beta =10$

如果背包定义了一个阵面，背包多形体可以完全用Edmonds(1971)的结果来描述。在这种情况下，强覆盖不等式的所有扩展集足以给出一个公式，参见Wolsey(1975)。在第7节中讨论了背包定义阵面的情况。

Graphic knapsacks：假设假设11成立。Wolsey(1975)称背包图为存在 $t\in [n-1]$ ，使得其背包不等式满足在 $a_{t+1}+a_t>\beta$ 且 $a([t])\le \beta$ 。同样，所有强覆盖不等式的集合提供了一个完整的线性描述，参见Wolsey(1975)。注意 $t=1$ 对应于拟阵的情况。

Further cases：Gillmann和Kaibel(2006)引入了所谓的revlex-initial polytopes，即 conv ⁡ { x ∈ { 0 , 1 } n : x ≺ rlex ⁡ v } \operatorname{conv}\left\{x \in\{0,1\}^n: x \prec_{\operatorname{rlex}} v\right\} conv{x∈{0,1}n:x≺rlex​v} 对于某些 v ∈ { 0 , 1 } n v \in\{0,1\}^n v∈{0,1}n ,. “≺rlex” 是严格的反向字典顺序。如果 ${\bar{a}}_i=2^i,i\in [n]$ ，那么它对应于 conv ⁡ { x ∈ { 0 , 1 } n : a ˉ ⊤ x ≤ a ˉ ⊤ v − 1 } \operatorname{conv}\left\{x \in\{0,1\}^n:\right.\left.\bar{a}^{\top} x \leq \bar{a}^{\top} v-1\right\} conv{x∈{0,1}n:aˉ⊤x≤aˉ⊤v−1}，即背包多面体。Gillmann和Kaibel用 $n$ 的多项式个不等式提供了一个完整的线性描述。

相关的对象是orbisacks，即 $m\times 2$ 大小的0/1-矩阵的凸包，使得第一列在字典上不小于第二列。使用前面定义的向量 $\bar{a}$ , orbisacks可以被看作是特殊的背包多面体 conv ⁡ { ( x , y ) ∈ { 0 , 1 } m × 2 : a ˉ ⊤ ( y − x ) ≤ 0 } \operatorname{conv}\left\{(x, y) \in\{0,1\}^{m \times 2}:\right.\left.\bar{a}^{\top}(y-x) \leq 0\right\} conv{(x,y)∈{0,1}m×2:aˉ⊤(y−x)≤0}(变量互补后)。Kaibel和Loos(2011)发现了一个完整的线性描述，Loos(2010)提出了一个优化orbisacks的算法。

完整的线性描述有 $\Theta \left(3^m\right)$ 个面，并且有一个面定义不等式，使得其最大系数和最小系数之比为 $2^{m-2}$ 。

最后，Hojny和Pfetsch(2019)引入了所谓的symresacks conv ⁡ { x ∈ { 0 , 1 } n : x ⪰ lex ⁡ γ ( x ) } \operatorname{conv}\left\{x \in\{0,1\}^n:\right.\left.x \succeq_{\operatorname{lex}} \gamma(x)\right\} conv{x∈{0,1}n:x⪰lex​γ(x)} 用于某些坐标排列γ，其中 "‘ $⪰$ lex $"$ 指的是词典的顺序。这些多形体又是背包多形体(在补充变量之后)，取决于 $\gamma$ ，有时可以推导出完整的线性描述(Hojny 2018)。

示例47：(继续算例5)背包多面体 conv conv ⁡ { x ∈ { 0 , 1 } 5 : 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 + 7 x 4 + 9 x 5 ≤ 13 } \operatorname{conv}\left\{x \in\{0,1\}^5: 4 x_1+5 x_2+6 x_3+7 x_4+9 x_5 \leq 13\right\} conv{x∈{0,1}5:4x1​+5x2​+6x3​+7x4​+9x5​≤13} 的完整线性描述由 $x_i\ge 0,i\in [5]$ ，强覆盖的四个扩展不等式(例21)以及提升覆盖不等式 $x_2+x_3+x_4+2x_5\le 2$ (示例27)给出。上面讨论的任何情况都不包含这个结果。

(Q16) 是否还有其他种类的背包多形体可以提供完整的线性描述?

(Q17) 是否有一个共同的概括所有提到的完全线性描述?

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八、Geometric properties of knapsack polytopes 背包多面体的几何性质

前几节讨论了背负式多面体的代数性质和描述。本节研究它们的几何性质。

Number of vertices 顶点数：由于具有积分权的背包问题可以通过动态规划来解决，因此P的顶点数V §原则上可以通过一个修正的目标为零的动态规划算法来计算。然而，这个过程的运行时间在 $n$ , 而 $V(P)$ 可能是指数级的。

为了找到 $V(P)$ 的近似值，Dyer(2003)提出了一种随机算法来近似计算P的顶点数，即对于每一个 $\epsilon >0$ ，该算法以高概率返回范围为 $(1-\epsilon )V(P)$ 和 $(1+\epsilon )V(P)$ 的数字。Dyer的算法运行时间为 $\mathcal{O}\left(n^{5/2}\sqrt{\log \left(n{\epsilon }^{-1}\right)}+{\epsilon }^{-2}{n}^2\right)$ ，基于动态规划。

对于一个没有上界的整数背包，即 $K^{\prime }=\left\{x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n:a^{\top }x\le \beta \right\}$ 时，Hayes和Larman(1982)表明，$\mathrm{conv}\left(K^{\prime }\right)$ 的顶点数从上面以 ${\log }_2^n\left(\frac{4\beta }{a_1}\right)$ 为界。然而，对于二元情况，我们不知道这样的上界。

Adjacency：Geist和Rodin(1992)在基于次优解局部改进的优化算法的激励下，研究了P的顶点的邻接性，证明了P的两个不同顶点 $u,v$ 是相邻的，当且仅当 $P$ 的两个不同顶点 $w^1,w^2$ 不存在时，$\frac{u+v}{2}=\frac{w^1+w^2}{2}$ 。他们还表明，决定两个顶点是否相邻是NP完全的。

Distribution of classes of facets：如前所述，$P^{a,\beta }$ 最重要的一类不等式是由平凡不等式 $0\le x\le 1$ 和简单提升最小覆盖不等式(LCI)给出的。正如我们在第4节中所看到的，简单的LCIs在通过分支和切割解决背包问题中发挥着重要作用。然而，目前尚不清楚有多少非平凡方面是由简单LCIs定义的。为了得到这个值的估计值，我们在小维中列举了所有全维背包多面体，计算了它的facet，并检查了哪些facet是由简单的LCIs定义的。在本节的剩余部分，我们将更详细地描述我们的调查。

在下面，我们考虑所有可能的0/1背包多面体，直到0/1等价，即直到坐标排列和互补变量。因此，如果我们在讨论中提到一个背包多面体，我们实际上是指它的0/1等价类的所有成员。

为了枚举维数 $n\in [5]$ 的全维背包多形体的所有等价类，我们使用了Aichholzer(2000)的一个工具，该工具允许访问维数不超过5的0/1多形体的所有等价类，该工具可通过他的网页获得。由于web工具允许每次查询最多访问1000个多边形，我们使用了Aichholzer为我们提供的离线版本。

使用Aichholzer的工具，我们首先生成了所有(等价类)0/1多面体的列表，并删除了所有非全维多面体。为了从这个列表中过滤出背包多面体，我们检查每个多面体 $P$ 是否存在线性不等式 $a^{\top }x\le \beta$ ，通过求解 $LP$ 将 $P$ 的顶点与剩余的二进制点分离，cf. Bradley et al(1974)。注意，我们不能局限于不等式 $a^{\top }x\le \beta$ 且系数为非负，$a_i\le \beta$ ， $i\in [n]$ ，因为我们处理的是多面体的等价类。也就是说，我们不能保证假设1成立。此外，请注意，我们将 $[0,1{]}^n$ 分类为背包多面体。

表2表明，当 $n\ge 4$ 时，绝大多数0/1多面体都不是背包。特别是，当 $n=5$ 时，0/1多形体的1226617个等价类中只有92个由背包组成。对于较小的维度，所有( $n\in [2]$ )或大约一半的多面体( $n=3$ )都是背包。

令 { P 1 , … , P N } \{P1,…,PN\} {P1,…,PN} 是全维背包多形体各等价类的代表集合。对于每个代表的 $P_i$ ，我们使用polymake (Gawrilow和Joswig 2000)计算 $P_i$ 的facet描述。通过遍历所有facet定义不等式 $P_i$ ，我们将切面分为两类:由盒约束定义的平凡切面和非平凡切面。对于每个非平凡的方面，我们检查它是否是强覆盖的扩展不等式(因此，是一个简单的解除覆盖不等式)。对于其余的非平凡方面，我们手工检查是否存在最小覆盖，以便对应的定义不等式的方面是一个顺序简单的LCI。

为了评估简单LCIs在定义Pi不等式的非平凡facet中的分布，$i\in [N]$ ，令 $f_i$ , $t_i$ , 和 $c_i$ 分别是所有facet的数量，平凡facet的数量，与简单LCIs相关的facet的数量，以及剩余facet的数量。分数 ${\rho }_i=\frac{c_i}{f_i-t_i}$ 描述了由简单lci定义的非平凡facet的部分。为了描述基于简单LCIs的非平凡面分布，我们使用了统计度量：

表3显示，在维度2和3中，每个定义不等式的非平凡方面都是一个简单的LCI。在维度4和5中，所有非平凡方面的大多数都是由简单lci定义的，因为在这两种情况下，算术平均值大于90.0%，中值甚至为100.0%。然而，也有一些等价类，其中只有相对较少的面是由简单LCIs定义的，例如，在维度5中存在一个背包多面体，这样所有定义面的不等式中只有大约54.5%是简单LCIs。

我们的实验表明，简单的LCIs对于描述小维度的背包多形体很重要。这些发现对一般二进制程序也有启示。

为了增强二进制程序，我们可以考虑由其约束矩阵的不等式定义的背包多形体 $P$ ，并为 $P$ 分离有效不等式。如果约束矩阵是稀疏的，表3表明分离简单LCIs对于为 $P$ 找到强切割平面很重要，因此，二进制程序。这一假设也得到了Kaparis和Letchford(2010)在第4节提到的MIPLIB实例上的数值实验的支持。然而，如果约束矩阵变得更密集，简单的LCIs可能不足以给出背包多面体的紧密公式，参见表3中4维和5维的最小百分比值。

(Q18) 二元背包多面体的顶点数量 $V(P)$ 是否存在一个强的上下界?

(Q19) 是否有一种计算 $V(P)$ 的例程比枚举 $P$ 的所有顶点更快?

(Q20) 是否存在一种(递归)方案来构造所有固定维的背包多面体?

(Q21) 背包式多面体中可以用简单 LCIs 描述的非平凡面的最小百分比是多少?当 $n\to \infty$ 时，它趋于 $0$ 吗?

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九、Independence systems and matroids

9.1 Independence systems

一个独立系统是一个元组 $(F,\mathcal{I})$ ， 其中 $F$ 是一个有限集，$\mathcal{I}\subseteq 2^F$ ，使得(i) $\varnothing \in \mathcal{I}$ ， (ii)如果 $Y\in \mathcal{I}$ ，然后 $Y\in \mathcal{I}$ 对于每一个 $Y\subseteq X$ , $\mathcal{I}$ 中包含的集合称为独立的，而 $2^F\backslash \mathcal{I}$ 中的集合称为相关的。令 $a\in {\mathbb{R}}_{+}^n,\beta \in {\mathbb{R}}_{+}$ ，考虑系统 I K : = { I ⊆ [ n ] : a ( I ) ≤ β } \mathcal{I}_K:=\{I \subseteq[n]: a(I) \leq \beta\} IK​:={I⊆[n]:a(I)≤β} ，包含背包 $K=K^{a,\beta }$ 的可行解的指标集。根据引理3, $\mathcal{M}:=\left([n],{\mathcal{I}}_K\right)$ 是一个独立系统，这就引出了下面的问题：

(Q22) 哪些独立系统可以表示为背包问题?

虽然这个问题在一般情况下是开放的，但对于我们在下面概述的稳定集类，一个完整的描述是可用的。给定一个无向图 $G=(V,E)$ ， $G$ 中的稳定集是集合 $S\subseteq V$ ，使得 $S$ 中的节点在 $G$ 中成对不相邻。

用 $\mathcal{I}(G)$ 表示 $G$ 中所有稳定集的集合，即 I ( G ) = { S ⊆ V : S \mathcal{I}(G)=\{S \subseteq V: S I(G)={S⊆V:S 是稳定的 $\}$ 。显然，$\mathcal{S}(G):=(V,\mathcal{I}(G))$ 是一个独立系统。我们需要以下概念。

定义48：一个图$G=(V,E)$ 是一个阈值图当且仅当下列等价性质中的一个(即所有)成立：

• (a) 图 $G$ 可以由一个单顶点图通过重复应用以下两个操作来构造：
  • (i) 将单个孤立顶点添加到图形中。
  • (ii) 将一个顶点添加到与所有其他顶点连接的图形中。
• (b) 存在实数 $S$ 和实顶点权值 $w(v)$ ，使得对于每一对不同的顶点 $u,v\in V$ ， { u , v } \{u, v\} {u,v} 是 $G$ 的边当且仅当 $w(u)+w(v)>S$ 。
• c) 存在一个实数 $\beta$ 和实数顶点权重 $a(v)$ 这样对于每一个 $S\subseteq V$ 我们有 ${\sum }_{v\in S}a(v)\le \beta$ 当且仅当 $S$ 是稳定集。

特别地，在取诱导子图时，阈值图的性质是封闭的。因此，一旦已知了(a)的构造序列，就可以很容易地构造一个表征 $S(G)$ 的背包不等式:假设 $G$ 的节点按照它们在构造序列中添加的顺序被标记为 $1,\dots ,|V|$ 。令 ${\sum }_{i=1}^j{a}_i^j{x}_i\le {\beta }_j$ 是表征步骤 $j$ 中构造的图的不等式，然后令$x_1\le 1$ 是单顶点图的不等式。如果我们应用构造规则(i)来获得 $(j+1)$-$st$ 图，我们定义 $(j+1)$-$st$ 不等式为

如果我们应用构造规则(ii)，我们定义不等式

定理49：(Chvátal and Hammer 1975)当且仅当 $G$ 是阈值图时，$S(G)$ 可以表示为一个背包问题。

示例50：图1显示了阈值图的示例。使用构造规则(i)和(ii)，这个图可以按照以下顺序构造，这也产生了对应子图的背包特征。

图1所示图的稳定集与最终背包不等式的可行解相吻合。

将阈值的概念推广到一般独立系统似乎是复杂的。据我们所知，它只用于拟阵，参见下一小节的定理55。

9.2 Knapsacks and matroids

一般来说，求解独立系统上的线性优化问题是NP困难的。

对于特殊情况的拟阵，贪心算法可以非常有效地求解。回想一下，一个独立系统 $(F,\mathcal{I})$ 是一个阵，如果对于每个 $S\subseteq F$ , 包含在S中的最大独立集具有相同的大小。

由于拟阵的优化很容易，关于背包 $K$ 的一个问题是如何刻画相关的独立系统 $\mathcal{M}=\left([n],{\mathcal{I}}_K\right)$ ， 其中 I K : = { I ⊆ [ n ] : a ( I ) ≤ β } \mathcal{I}_K:=\{I \subseteq[n]: a(I) \leq \beta\} IK​:={I⊆[n]:a(I)≤β} 是否是一个拟阵。

定义51：假设假设11成立。极大独立集 $C\subseteq [n]$ 是 $M$ 的上限，如果对于所有 $i\in C$ ，且有 $i+1\in [n]\backslash C$ ，则 ( C \ { i } ) ∪ { i + 1 } ∉ I K (C \backslash\{i\}) \cup\{i+1\} \notin \mathcal{I}_K (C\{i})∪{i+1}∈/IK​ 。

使用天花板的概念，Wolsey(1975)提供了一个背包的完整特征，可以通过一个矩阵来表示。此外，由于Cerdeira和Barcia(1995)，存在通过强覆盖的特征。

定理52：(Cerdeira和Barcia 1995 ；Wolsy 1975)以下陈述是等价的：
(a) $\mathcal{M}=\left([n],{\mathcal{I}}_K\right)$ 是一个阵向量。
(b) $K$ 的强覆盖数最多为2。
c) $\mathcal{M}$ 有一个独特的天花板

示例53：(继续例5)由 $4x_1+5x_2+6x_3+7x_4+9x_5\le 13$ 定义的背包对应的独立系统有两个上限，即 { 3 , 4 } \{3,4\} {3,4} 和 { 1 , 5 } \{1,5\} {1,5} 。

因此，根据定理52$(c)$，对应的背包不是一个阵。或者，这可以用定理52(b)来表示，因为我们之前已经看到 C 1 = { 1 , 2 , 3 } ， C 5 = { 2 , 5 } ， C 6 = { 3 , 5 } 和 C 7 = { 4 , 5 } C1 = \{1,2,3\}， C5 = \{2,5\}， C6 =\{3,5\}和C7 =\{4,5\} C1={1,2,3}，C5={2,5}，C6={3,5}和C7={4,5} 是背包的强覆盖物。

除了前面提到的两个结果，Amado和Barcia(1993)考虑了一个阵阵的F族，他们描述了一个背包 $K$ 是否包含在 $F$ 中。如果背包不等式的系数几乎相同，这些发现就特别有趣，因为这样的背包通常很难解决，参见Martello和Toth(1990，第2.10节)。对于这样的背包，Amado和Barcia用他们的发现加强了背包问题的标准LP松弛。

虽然前面的结果使用了背包不等式来表征 $K$ 是否为一个拟阵，但我们也可以提出相反的问题:哪些拟阵是可以被背包表征的?因此，我们需要将上一节中为图定义的阈值属性应用于拟阵。

独立系统 $(F,\mathcal{I})$ 存在 $a\in {\mathbb{R}}_{+}^F$ and $\beta \in {\mathbb{R}}_{+}$ ， 例如 I = { I ⊆ F : a ( I ) ≤ β } \mathcal{I}=\{I \subseteq F: a(I) \leq \beta\} I={I⊆F:a(I)≤β} ，即 $\mathcal{I}$ 可被背包表征，则称为阈值。为了表征一个阵点是否为阈值，我们需要一个单调性属性。

定义54：设 $(F,\mathcal{I})$ 是一个独立系统，设 $R,S\subseteq F$ ，我们说 $R$ 大于等于 $S$ ，在公式 $R\ge S$ 中，对于所有的 $T\subseteq F\backslash (R\cup S)$

定理55：(Giles and Kannan 1980)一个拟阵是阈值当且仅当它是3单调的。

定理55扩展了定理52，得到了具有拟阵性质的背包的第三个特征。对任意独立系统的概括，以及对问题(问题22)的回答，是开放的。

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十、Integer knapsacks

对于整数背包问题，变量是有界的，值为整数值：

一些作者，如Kellerer等人(2004)，区分了 $u_i<\infty$ 的有界背包问题和 $u_i=\infty$ 的无界背包问题。观察到每个无界背包问题都可以通过设置 $u_i:=\lfloor \beta /a_i\rfloor$ 使之有界，前提是 $a_i>0$ 。因此，用 $u_i-x_i$ 补充变量 $x_i$ 是有效的，这将观察2推广到整数情况。因此，我们假设假设1适用于本节的其余部分。

请注意，我们总是可以将(有界)整数背包问题简化为相应的二进制问题，方法是将每个整数项i替换为它的 $u_i$ 二进制副本，但在这种转换中可能会丢失一些结构，并且公式可能会变得很大。此外，虽然每个二进制≤-背包都可以转换为二进制≥-背包(见【论文阅读】（2020）Knapsack polytopes: a survey（上）的 3.1 节)，但如果考虑整数背包，则不存在这种转换。原因是整数≤-knapsacks是有界的，而整数≥-knapsacks是无界的。因此，就产生了不同的多面体性质，例如Yaman(2007)所研究的。

与二进制情形类似，整数背囊多面体 $\mathrm{conv}\left\{x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n:a^{\top }x\le \beta \right\}$ for $a\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$ 可以通过研究主背负式多面体的面 $\mathrm{conv}\left\{x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n:{\sum }_{i=1}^{n}i{x}_i\le n\right\}$ 来找到，参见例如，Aráoz et al (2003)， Shim et al(2017)，或Tyber and Johnson(2010)。虽然一些定义不等式的方面是已知的，但我们还远远没有完全理解这个多面体。因此，对于二元背包多面体，研究特定的背包多面体是必要的，以找到强切割面。

与经典的二元背包问题相比，只有很少的整数背包问题的多面体研究，参见，例如Atamtürk (2003, 2005)， Ceria等人(1998)，Pochet和Weismantel(1998)，或Pochet和Wolsey(1995)。Ceria等人

(1998)讨论了最小覆盖不等式在一般整数情况下的推广。根据他们的定义，一个(整数)封面是一个集 $C\subseteq [n]$ 与属性 ${\sum }_{i\in C}{a}_i{u}_i>\beta$ 。

如果没有合适的 $C$ 子集作为覆盖，则覆盖 $C$ 称为最小覆盖。类似于二进制情况，每个最小整数覆盖 $C$ 都会产生(最小)(整数)覆盖不等式

这说明不是所有的变量(最小)覆盖可以同时在他们的上界。然而，与二进制设置相反，这些不等式一般不定义整数背包集的整数规划公式。

除了上面的最小覆盖不等式的直接推广，Atamtürk(2005)讨论了一个更丰富的不等式类别，从覆盖 $C\subseteq [n]$ ，表明对于任何 $\rho >0$ ，不等式

$\lambda ={\sum }_{i\in C}{u}_i-\beta$ ，对整数背负式多面体有效。对于 $\rho =a_{\ell }$ 的特殊情况，当式(20)是facet定义可用时，使用

定理56：(Atamtürk 2005) 让 $C\subseteq [n]$ 是一个覆盖，让 $\ell \in C$ 满足 $\mu =u_{\ell }{a}_{\ell }-\lambda \ge 0$ 。不等式(20)，$\rho =a_{\ell }$ 当且仅当 a i ≥ min ⁡ { λ , κ i ℓ a ℓ − r } a_i \geq \min \left\{\lambda, \kappa_{i \ell} a_{\ell}-r\right\} ai​≥min{λ,κiℓ​aℓ​−r} 对于所有的 i ∈ C \ { ℓ } i \in C \backslash\{\ell\} i∈C\{ℓ} ，其中 $r=\mu -\lfloor \mu /a_{\ell }\rfloor a_{\ell }$

此外，还存在一些具有完整线性描述的整数背包多形体族。这些族将弱超增和顺序二元背包多形体推广到有界背包多形体的一般情况(见7.2节)。

如果${\sum }_{j=1}^{i-1}{a}_j{u}_j\le a_i$ 对所有的 $i\in [n]$ , 定义不等式 $a^{\top }x\le \beta$ 的有界背包， 且上界向量u称为弱超增。用这个定义，二元情况(第7.2节)的经典结果可以推广到任意整数变量的情况。

定理57：(Gupte 2016)弱超递增(不一定是二进制)背包多形体完全由盒约束和 $O(n)$ 不等式描述。给出了定义不等式的facet的显式构造方案。

此外，序列二进制背包多形体的完全线性描述，即对于每个 $i\in [n-1]$ 具有 $a_i\mid a_{i+1}$ 的二进制背包多形体，可以推广到任意整数背包多形体，满足可除性，参见Pochet和Weismantel(1998)。一般来说，这种描述是非常复杂的。对于没有明确的变量上界的特殊情况，即 $x_i\le \lfloor \frac{\beta }{a_i}\rfloor$ , Marcotte(1985)对线性大小的背包多形体给出了完整的线性描述。

定理58：(Marcotte 1985)设 $a\in {\mathbb{N}}^n$ 使 $a_i\mid a_{i+1}$对每个 $i\in [n-1]$ 成立。那么 $\mathrm{conv}\left\{x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n:a^{\top }x\le \beta \right\}$ 完全由非负约束和描述：

如果整数背包多形体的完整线性描述是未知的，则可以尝试通过添加不等式或加强已有的不等式来改进给定的整数公式。后者可以通过提升来实现。然而，与二进制情况相反，整数提升更丰富，因为初始不等式可能不是通过固定某些变量的上界和下界来推导的，而是通过一些中间值来推导的。例如，可以在Wolsey (1976b)或Easton和Gutierrez(2015)中找到整数提升的详细信息。我们还没有发现背包特定不等式的任何结果。

(Q23) 实践中大多数背包的例子都是二进制形式的。有没有有趣的实用的一般整数的例子?

(Q24) 整数背包的情况如何才能用算法得到最好的处理?

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十一、Mixed-integer knapsacks

在本节中，我们将讨论混合整数背包的两种变体:混合整数背包的通用模型和描述包含变量下限和上限约束的广义流模型的变体。

11.1 General mixed-integer knapsacks

一般的混合整数背包是将整数背包直接推广到混合整数的情况，即：

对于适当维度的非负向量 $a,b,u$ , 和 $\tilde{u}$ 。如果 $u=1$ ，则 $X_{Mix}$ 称为混合二进制背包，否则称为混合整数背包。

对于混合整数背包，Martin和Weismantel(1997)推导出了重量不等式族

其中 $I\subseteq [m]$ ， $J\subseteq [n]$ ， and $r(I,J)$ 是当I和J中的所有变量都固定在其上界时，即 $r(I,J)=\delta -{\sum }_{i\in I}{a}_i{u}_i-{\sum }_{j\in J}{b}_j{\tilde{u}}_j$ 。

权重不等式对于混合整数背包多形体 $P_{\text{Mix }}=\mathrm{conv}\left(X_{\text{Mix }}\right)$ 是有效的，Martin和Weismantel描述了他们定义 $P_{Mix}$ 的facet的情况。

Richard等人(2003a)研究了混合二元背包的情况。除了提供 $P_{Mix}$ 的基本多面体性质外，他们还研究了连续变量的提升问题，并提出了一个伪多项式时间序列提升算法。在理查德等人

(2003b)，同一作者将经典背包通过超加性函数同时提升的概念应用于混合二元背包中连续变量的超线性提升函数。这允许他们为 $P_{Mix}$ 派生几个方面定义不等式。

Marchand和Wolsey(1999)考虑混合二元背包的特殊情况，只有一个系数为−1的无界连续变量，即 X M i x ′ = { ( x , y ) ∈ { 0 , 1 } m × R + : ∑ i = 1 m a i x i ≤ δ + y } X_{\mathrm{Mix}}^{\prime}=\{(x, y) \in\left.\{0,1\}^m \times \mathbb{R}_{+}: \sum_{i=1}^m a_i x_i \leq \delta+y\right\} XMix′​={(x,y)∈{0,1}m×R+​:∑i=1m​ai​xi​≤δ+y}。注意，$X_{\text{Mix }}^{\prime }$ 不是一个经典的背包集，因为连续变量有一个负系数。该模型可以被解释为经典二进制背包的扩展，其中容量界限可以使用多余的变量 $y$ 来违反。

与经典的背包问题相反，$X_{\text{Mix }}^{\prime }$ 的背包不等式总是定义了 $\mathrm{conv}\left(X_{\text{Mix }}^{\prime }\right)$ 的一个方面，参见Marchand和Wolsey(1999)。此外，他们还得到了进一步的有效不等式。在二元变量的某些系数允许为负的情况下，Marchand和Wolsey导出了几个面定义不等式，并研究了它们的提升问题。

后者的一种变体是 { ( x , y ) ∈ { 0 , 1 } m × Z + n : ∑ i = 1 m x i ≤ ∑ j = 1 n b j y j } \left\{(x, y) \in\{0,1\}^m \times \mathbb{Z}_{+}^n: \sum_{i=1}^m x_i \leq \sum_{j=1}^n b_j y_j\right\} {(x,y)∈{0,1}m×Z+n​:∑i=1m​xi​≤∑j=1n​bj​yj​} ，这称为整数容量集。Mazur和Hall(2002)提供了相应多面体的基本多面体性质，并展示了如何减少其公式中的系数，这在预处理中特别有趣。此外，他们提出了基于某些背包封面的面定义不等式。

11.2 Generalized flow models

带变量约束的混合整数背包的最一般形式如下所示。设 $N_1$ 和 $N_2$ 是(不一定不相交的)集合，设 $a\in {\mathbb{R}}^{N_1}$ $b\in {\mathbb{R}}^{N_2}$ 以及 ${\ell }^{\prime },u^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{N_1\cup N_2}$ and $\delta \in \mathbb{R}$ 。具有可变上下界的混合整数背包是一个集合：

这个定义中的最后一类不等式被称为变量下限和上限约束，因为取决于 $y_j^{\prime }$ 的值，它们是活跃的$\left(y_j^{\prime }=1\right)$或不活跃$\left(y_j^{\prime }=0\right)$，注意我们使用 ${\ell }^{\prime }$ 和$u^{\prime }$ 而不是 $\ell$ 和 $u$ 代表边界，因为我们会适应下面这个符号。此外，由于我们将连续变量解释为流量值，因此我们将连续变量称为 $f$ -变量。

为了简化这种混合整数背包的分析，人们通常用一个更简单的整数公式将 $K_F^{\prime }$ into转换为一个集合，我们将在下面介绍这个集合，并在后面介绍(V an Roy and Wolsey 1986)。通过适当地替换变量和边界，他们证明 $K_F^{\prime }$ 可以表示为

其中 $N:=N_1\cup N_2$ 和 $\left(M_1,M_2\right)$ 是 $N$ 的一个分区。这个模型就是所谓的混合整数背包的标准形式，用 $K_F$ 表示。特别是，我们可以假设 $0\le \ell \le u$ 。

标准形式的混合整数背包可以被解释为一个流网络的模型,由一个节点 $v$ 以及一套弧 $M_1$ ,点成 $v$ 和一组弧形 $M_2$ 组成。变量 $f_j$ 对弧 $j$ 上的流量值进行建模，变量 $y_j$ 通过是否可以使用弧 $j$ 的广义上下界约束进行编码。

最后，$K_F$ 中的第一个不等式，我们称之为流量背包不等式，表示节点 $v$ 的净流出量不超过 $\delta$ 。

为了加强公式 $K_F$ of $P_F:=\mathrm{conv}\left(K_F\right)$ ， Van Roy 和 Wolsey (1986)引入了广义流动覆盖切割。一对 $(C_1,C_2)$ ，$C1\subseteq M1$ , $C2\subseteq M2$ ，称为广义覆盖

即，将 $C_1$ 中的变量固定在其上界，将 $C_2$ 中的变量固定在其下界，违反了流量背包不等式。令

α + = max ⁡ { 0 , α } \alpha^{+}=\max \{0, \alpha\} α+=max{0,α} 对于实值 $\alpha$

给定广义流动覆盖 $(C_1,C_2)$ ，令 L i ⊆ M i \ C i , i ∈ { 1 , 2 } L_i \subseteq M_i \backslash C_i, i \in\{1,2\} Li​⊆Mi​\Ci​,i∈{1,2} 。根据Gu等人(1999b)的表述，$(C_1,L_1,C_2,L_2)$ 的简单广义流动覆盖不等式为

这是 $P_F$ 的一个有效不等式。此外，存在所谓的扩展广义流动覆盖不等式的推广，参见，例如Gu et al (1999b)。

Van Roy 和 Wolsey (1986)研究了广义流动覆盖不等式定义 $P_F$ 面的情况，并研究了它们的分离问题。Stallaert(1997)推导出一类不等式，称为 $\mu$-不等式，它是流覆盖不等式的补充。他进一步分析了它们的分离问题，并通过实验发现，使用广义流覆盖不等式和 $\mu$ 不等式可以将完整性差距缩小 $75\%$ ，而使用这两类中的任何一种只能将差距缩小 $65\%$ 。Gu等人（1999b）对广义流动覆盖不等式的提升问题进行了广泛的研究，并进行了数值实验。

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十二、Variants of the knapsack problem

在本节中，我们简要地讨论背包问题的变体的多面体方面。对于第12.1-12.4节中讨论的变体的算法方面，我们再次建议读者参考Kellerer et al(2004)的书。

12.1 Multidimensional knapsack problem

多维背包集 $K_{mult}$ 由 $m$ 个背包约束来定义，而不是单一的背包约束，即

其中 $A\in {\mathbb{Z}}_{+}^{m\times n}$ and $b\in {\mathbb{Z}}_{+}^m$ 。也就是说，一个多维背包 $K_{mult}$ 是 $m$ 个背包 $K_i$ 的交点，因此是一个独立系统。相反，每个独立系统都有一个多维背包的表示，对于每个最小相关集 $C$ ，通过切割 $x(C)\le |C|-1$ 来表示。因此，与独立系统相关的一般多面体上的每个结果也适用于多维背包多面体 $P_M$ ，例如，冲突超图中通过最大团来表征facet，参见Easton et al(2003)。

通过分别考虑 $Ax\le b$ 中的每个约束，将经典背包的覆盖不等式的概念直接转移到多维情况。Bektas和O˘guz(2007)提出了一个IP模型来分离 $P_M$ 的违规覆盖不平等。Kaparis和Letchford(2008)研究了解除的覆盖不平等。Balas和Zemel(1984)通过将 $K_{mult}$ 中单个约束的最小覆盖直接推广到 $Ax\le b$ 的完整系统的最小覆盖，表明定义 $P_M$ 不等式的每一个非平凡方面都可以通过对适当选择的集合 $S\subseteq [n]$ 的变量 $x_i$ , $i\in S$ 进行互补，检测被补背包的合适最小覆盖，并(依次或同时)提升相应的最小覆盖不等式来找到。因此，找到 $P_M$ 的完整线性描述的理论机制是已知的。

Martin和Weismantel(1998)考虑了多维背包问题的一个更一般的版本，其中变量的上界是任意的正整数。也就是说，他们研究了几个整数背包交叉的情况，而不是二进制的情况，当然，他们的结果也适用于二进制的情况。他们推导了所谓的可行集不等式，它对 ${\bigcap }_{i=1}^m{K}_i$ 有效，但不一定对每个 $K_i$ 都有效，他们推导了这些不等式提升系数的边界。如果背包 $K_i,i\in [m]$ 可以这样标记:当 $|i-k|\ge 2$ 时， $K_i\cap K_k=\varnothing$ ，Martin和Weismantel就完全表征了定义某个 conv($K_i$) 的不等式的一个面是否也定义了 $P_M$ 的一个面。

12.2 Cardinality constrained knapsack problem

基数约束背包集 $K_{\le }$由一个普通背包不等式加上最多可选择 $K$ 个物品的附加约束组成，即：

受基数约束的背包是具有两个背包约束的多维背包的一种特殊情况，即两个经典背包的交集。Louveaux和Weismantel(2008)研究了基数约束背包的多面体方面，他们开发了所谓的不完全集不等式，以利用在单独背包中不存在的交集结构。此外，第10.1节中提到的所有结果也适用于基数约束的情况。

Glover和Sherali(2008)以及Sherali和Glover(2008)推导了利用基数约束的特殊覆盖不等式。对于包含基数约束的整数程序，Bienstock(1996)引入了混合整数舍入不等式、析取切分和临界集不等式。Zeng和Richard (2011a, b)通过在不同变量上引入几个基数约束，对上述问题进行了推广，并给出了提升方案。如果所有变量都是连续的，de Farias Jr 和 Nemhauser (2003)研究了 $K_{\le }$ 的一种变体，其中基数约束被替换为最多 $K$ 个变量获得正值的条件。

12.3 Generalized upper bound constraints

给定一个由变量 $x\in {0,1}^n$ 的索引组成的集合 $J\subseteq [n]$ ，一个约束 $x(J)\le 1$ 被称为一个广义上界(GUB)。在许多应用中，这种约束与背包约束结合在一起。为此，考虑将 $[n]$ 划分为 $k$ 个集合 $Q_1，\dots ，Q_k$ ，即 $Q_1\cup \cdot \cdot \cdot \cup Q_k=[n]$ ， $Q_i\cap Q_j=\varnothing$ 对于所有不相同的 $i,j\in [k]$ 。那么带有(非重叠的)GUB约束的背包集是

注意，通过添加基数为 $1$ 的 $Q_i$，假设 $Q_i$ 覆盖集合 $[n]$ 而不损失一般性。

与基本情况类似，集合 $C\subseteq [n]$ 是一个(最小)GUB覆盖，如果 $C$ 是背包约束的(最小)覆盖，并且 $C$ 中没有两个元素属于同一个 $Q_i$ ，即 $a(C)>\beta$ 和 $|C\cap Qi|\le 1$ 对所有的 $i\in [k]$。对应的GUB覆盖不等式 $x(C)\le |C|-1$ 对于 $P_{\mathrm{GUB}}:=\mathrm{conv}\left(K_{\mathrm{GUB}}\right)$ 有效。注意，普通的覆盖不等式也是有效的，但要么是GUB覆盖，要么是整数解的冗余。

Wolsey(1990)考虑了带有GUB约束的背包，其中背包包含正系数和负系数，并引入了GUB覆盖。他还研究了可以完全描述 $P_{GUB}$ 的特殊情况，GUB覆盖不等式的扩展，以及流覆盖的GUB模拟。请注意，负系数可以通过互补来消除，以达到上面的形式，请参阅Johnson和Padberg(1981)了解更多细节。

Sherali和Lee(1995)研究了PGUB的多面体性质。特别是，它们描述了最小的GUB覆盖不等式何时定义方面，并研究了这些不等式的顺序和同时提升何时定义方面。此外，他们还推导了提升系数的边界，可以在 $O(nk)$ 时间内计算。这些结果提供了第5.4节中讨论的经典情况的推广。特别地，对于没有GUB约束的背包集，即 $\left|Q_i\right|=1$ for all $i\in [k]$ ， Sherali和Lee(1995，命题4.2)提供的刻画可简化为定理38。

Nemhauser和V ance(1994)独立地描述了按顺序解除的最小GUB覆盖不平等的情况

定义 $P_{GUB}$ 的一个方面。这里，${\alpha }_j={\pi }_j+1$ 或 ${\alpha }_j={\pi }_j$ (见定理28和38)。该结果既改进了无GUB约束的背包问题的推论40，又推广了有GUB约束的推论40。

Gu等人(1999b)讨论了解除GUB覆盖不等式的算法和实践方面。例如，人们可以向上或向下解除这些不平等。然而，举升问题变得更加复杂，见Gu(1995)。

Gokce和Wilhelm(2015)考虑≥-形式，即 $a^{\top }x\ge \beta$ ， $K_{GUB}$ 和定义(强) α-覆盖 $C_{\alpha }$ 。它们表明了相应的不平等 ${\sum }_{j\in C_{\alpha }}{x}_j\ge \alpha$ 是有效的，当它们是facet定义时是有特征的。此外，它们还描述了 $\alpha$ 盖层的序贯提升和序贯独立提升。

(Q25) 我们能把上面提到的一些结果转移到集合 $Q_i$ 重叠的情况吗?这将对应于一个稳定集和背包问题的组合。

12.4 Precedence constrained knapsack problem

背包问题的这种变体为普通的二元背包问题增加了优先约束 $x_i\ge x_j$ ，强制要求只有在项目 $i$ 也被拿走时，项目 $j$ 才能被添加到背包中。这就引出了背包集

其中 $\mathcal{A}$ 是由来自 $[n]$ 的有序对组成的集合。注意，集合 $\mathcal{A}$ 可以解释为具有节点集 $[n]$ 的有向图的弧。

Boyd (1993b)研究了 $P_{\text{prec }}:=\mathrm{conv}\left(K_{\text{prec }}\right)$ 的基本多面体性质，并推广了覆盖不等式的概念。此外，基于优先约束所定义的图，Boyd导出了facet定义不等式的类。Park(1997)讨论了优先约束背包问题的解除覆盖不等式，并描述了在哪些情况下这些不等式是 $P_{prec}$ 的面定义。本文还讨论了 $K_{prec}$ 的LP弛豫性质。van de Leensel等人(1999)研究了提升几类有效不等式的复杂性，例如 (1, k)-configurations 或(概括)覆盖不等式。

12.5 Generalized assignment problem

广义分配问题是多背包问题的一个变体，在调度中有应用。有 $m$ 个背包(机器)，$n$ 个物品中的每一个都必须分配给一台机器，从而形成背包集

Gottlieb和Rao (1990b)提供了 $P_{\mathrm{GAP}}:=\mathrm{conv}\left(K_{\mathrm{GAP}}\right)$ 的多面体研究。他们还研究了KGAP的LP弛豫性质。在Gottlieb和Rao(1990a)，同样的作者专注于 (1, k)-configurations 的面定义性质。Trick(1992)还研究了 $K_{GAP}$ 的LP松弛，并利用他的发现开发了有效的原始启发式。

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十三、Conclusions

在本文中，我们概述了背包多面体的多面体性质，主要是最小覆盖不等式的提升，进一步的有效不等式和完整的线性描述。在这篇文章中，我们收集了超过20个关于背包多形体的开放问题，包括关于某些不等式的理论强度、识别或分离特定类别不等式的复杂性，或可以获得完整线性描述的背包多形体类别的问题。我们希望这些问题能从理论和计算两方面构成背包多面体进一步研究的基础。

例如，对于完全线性描述，本文揭示了本质上已知的三个背包多形体族的外部描述:(i)背包不等式的系数很小或很大，(ii)背包不等式的连续系数是可除的，或(iii)系数在维数上呈指数增长。但是，如果背包不等式的系数是次指数增长的，而连续的系数是不可除的，那么人们对facet结构能说什么呢?在计算方面，我们已经看到，高维背包多面体可能不能很好地近似于解除覆盖不等式。关于这个观察，人们可能会问:哪些类型的不等式是必要的，以得到一个更紧密的松弛背包多面体，特别是，这些不等式可以有效地分离?