【算法-贪心】分数背包问题

news2024/11/25 6:33:12

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分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）是一个经典的组合优化问题，通常用于描述在有限容量的背包中如何选择物品以最大化总价值的问题。与 0/1 背包问题不同，分数背包问题允许部分选择物品，即可以选择物品的一部分，而不一定要全部选择或全部不选择。

问题描述：
给定一组物品，每个物品有一个重量（weight）和一个价值（value），以及一个背包的最大容量（capacity）。目标是选择一些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量，同时总价值最大化。可以选择部分物品，即可以将物品分成若干份，并选择其中一部分放入背包。

分数背包问题可以用贪心算法来解决。具体步骤如下：

计算每个物品的价值密度，即每个物品的单位价值（value/weight）。
按照单位价值从高到低对物品进行排序。
初始化背包的总重量和总价值都为 0。
依次考虑排序后的物品，选择单位价值最高的物品，将其放入背包直到背包装满为止，或者直到没有更多的物品可供选择。
如果物品无法完整放入背包，可以选择将其部分放入背包以填满背包容量。
计算所选择物品的总价值，这就是问题的最优解。

分数背包问题的贪心算法具有良好的时间复杂度，通常可以在 O(nlogn)时间内解决，其中 n 是物品的数量。

/*

1. n 个物品都是液体，有重量和价值

2. 现在你要取走 10 升的液体

3. 每次可以不拿，全拿，或拿一部分，问最高价值是多少

编号重量(升) 价值

0 4 24 水

1 8 160 牛奶选中 7/8

2 2 4000 五粮液选中

3 6 108 可乐

4 1 4000 茅台选中

8140

简化起见，给出的数据都是【价值/重量】能够整除，避免计算结果中出现小数，增加心算难度

*/

public class FractionalKnapsackProblem {
    static class Item {
        int index;
        int weight;
        int value;

        public Item(int index, int weight, int value) {
            this.index = index;
            this.weight = weight;
            this.value = value;
        }

        int unitPrice() {
            return value / weight;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Item(" + index + ")";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Item[] items = new Item[]{
                new Item(0, 4, 24),
                new Item(1, 8, 160),
                new Item(2, 2, 4000),
                new Item(3, 6, 108),
                new Item(4, 1, 4000),
        };
        select(items, 10);
    }

    static void select(Item[] items, int total) {
        Arrays.sort(items, Comparator.comparingInt(Item::unitValue).reversed());
        int max = 0; // 最大价值
        for (int i = 0; i < items.length; i++) {
            Item item = items[i];
            if (total >= item.weight) {//可以拿完
                max += item.value;
                total -= item.weight;
            } else {//不能拿完
                max += total * item.unitValue();
                break;
            }
        }
        System.out.println("最大价值是:" + max);
    }
}