信号功率谱密度理解及其与频谱和能量谱的区别

一、功率谱密度的特点

信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数：
（1）在整个频率范围内对它进行积分后，就能得到信号的总功率；
（2）它描述了信号功率在各个不同频率上的分布的情况。

二、信号的平均功率

一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但是其平均功率却是有限值。假设$A(t)$表示噪声电压，是一个随机过程；$x(t,\xi )$为随机过程$A(t)$的样本函数，则噪声电压$x(t,\xi )$在1Ω电阻上消耗的平均功率$W_{\xi }$，可由下式子计算：
$$W_{\xi }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T[x(t,\xi ){]}^{2}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$

对于随机过程样本函数$x(t,\xi )$，研究其频谱没有很好的物理意义，研究其平均功率随频率的分布则具有更好的物理意义。

三、随机过程$A(t)$的样本函数$x(t,\xi )$的截断和其频谱函数

将随机过程$A(t)$的样本函数$x(t,\xi )$任意截取一段，长度为$2T$,并记为$x_T(t,\xi )$，并称$x_T(t,\xi )$为样本函数$x(t,\xi )$的截断函数，如图1所示。

图1 样本函数的截断函数$x_T(t,\xi )$

截断后，截断函数$x_T(t,\xi )$其表达式为：

$$x_T(t,\xi )=\{\begin{array}{l}x(t,\xi ),|t|\le T\\ 0,|t|>T\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

对于有限连续时间的$x_T(t,\xi )$而言，傅里叶变换是存在的，于是有：
$$\begin{gathered} X_T(\omega ,\xi )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t,\xi )e^{-j\omega t}dt \\ ={\int }_{-T}^T{x}_T(t,\xi )e^{-j\omega t}dt\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

$$x_T(t,\xi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}_T(\omega ,\xi )e^{j\omega t}d\omega \text{\hspace{1em}(4)}$$

其中$X_T(\omega ,\xi )$是$x_T(t,\xi )$的频谱函数。

四、功率谱密度推导

若把式子（4）代入式子（1）来求解平均功率的另一种表示方式——频域表示方式。则计算过程如式子（5）所示。

$$W_{\xi }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{\left[x_T(t,\xi )\right]}^2\mathrm{d}t$$
$$=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{x}_T(t,\xi )\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}_T(\omega ,\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \right]\mathrm{d}t$$

$$=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\frac{1}{2\pi }{X}_T(\omega ,\xi )\left[{\int }_{-T}^T{x}_T(t,\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\left[{\int }_{-T}^T{x}_T(t,\xi )\overline{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\left[{\int }_{-T}^T\overline{\overline{x_T(t,\xi )}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\left[\overline{{\int }_{-T}^T\overline{x_T(t,\xi )}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\right]\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(5)}$$

又因为$x_T(t,\xi )$为实函数，则$x_T(t,\xi )=\overline{x_T(t,\xi )}$,那么式子（5）进一步可计算

$$W_{\xi }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{\left[x_T(t,\xi )\right]}^2\mathrm{d}t$$
$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\left[{\int }_{-T}^T\overline{\overline{x_T(t,\xi )}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\left[\overline{{\int }_{-T}^T{x}_T(t,\xi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\right]\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}_T(\omega ,\xi )\overline{X_T(\omega ,\xi )}\mathrm{d}\omega$$
$$=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|X_T(\omega ,\xi ){|}^2\mathrm{d}\omega$$
$$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(\omega ,\xi ){|}^2\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(6)}$$

式(6)中的被积函数$$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(\omega ,\xi ){|}^2$$具备功率谱密度的特点，它代表了随机过程的某一个样本函数$x(t,\xi )$在频域中$\omega$频率处，消耗在1Ω电阻上的平均功率。因此，称它为样本函数$x(t,\xi )$的功率谱密度函数，记作$G(\omega ,\xi )$.
$$G(\omega ,\xi )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(\omega ,\xi ){|}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$

五、功率谱密度函数与能量谱密度函数以及频谱的区别

（1）频谱、能量谱以及功率谱是三个不同的概念，要特别注意区分，不能混淆三者概念。
（2）频谱函数是经过傅里叶变换直接得到的，即
$$X(\omega ,\xi )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t,\xi )e^{-j\omega t}dt\text{\hspace{1em}(8)}$$

能量谱由频谱取模再平方得到，即
$$S(\omega ,\xi )=|X_T(\omega ,\xi ){|}^2\text{\hspace{1em}(9)}$$
而功率谱，是能量谱结合时间因素而得到的：
$$G(\omega ,\xi )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(\omega ,\xi ){|}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$