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【高等数学】极限(上)

5、极限存在法则

5.1、夹逼准则

5.1.1、数列夹逼准则

准则：如果数列{$x_n$},{$y_n$}及{$z_n$}满足以下条件：
(1) 存在$N$,当$n>N$时,$x_n\le y_n\le z_n$
(2) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$
则：${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$

【证明】
$\because {\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$
$\forall ϵ>0,\exists N,当n>N时,|x_n-a|<ϵ且|z_n-a|<ϵ$
$\Rrightarrow a-ϵ<x_n<a+ϵ$
$a-ϵ<z_n<a+ϵ$
由$n>N$时，$x_n\le y_n\le z_n$得
$\Rrightarrow a-ϵ<x_n\le y_n\le z_n<a+ϵ$
即：$|y_n-a|<ϵ$
证毕

5.1.2、函数夹逼准则

准则：如果
(1)、当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时,$f(x)\le g(x)\le h(x)$
(2)、${\lim }_{x\to x_0}g(x)=a$
则${\lim }_{x\to x_0}g(x)=a$

证明与数列极限完全一致

5.1.3、第一重要极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

【证明】

如图：

以圆心O做一个半径为1的单位圆
其中：$\angle BOA=x$,$BD\perp OA$,$OB=OA=1$
由图我们可得:
$S_{▲OBA}<S_{扇形OBA}<S_{▲OCA}$
$S_{▲OBA}=\frac{1}{2}BD\times OB\because \sin x=\frac{BD}{OB}=BD\therefore S_{▲OBA}=\frac{1}{2}\sin x$
$S_{扇形OBA}=\frac{x\pi }{2\pi }=\frac{1}{2}x$
$S_{▲OCA}=\frac{1}{2}AC\times OA\because \tan x=\frac{AC}{OA}=AC\therefore S_{▲OCA}=\frac{1}{2}\tan x$
∴$\sin x<x<\tan x(x\in [0,\frac{\pi }{2})$

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\Rrightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\Rrightarrow 0<1-\frac{\sin x}{x}<1-\cos x$
$1-\cos x=2si{n}^2\frac{x}{2}\le 2(\frac{x}{2}{)}^2\to 0$
$\therefore \frac{\sin x}{x}=1$
证毕

而有了这个极限我们就可以证明以下的这些常用的极限:

(1)${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
(2)${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
(3)${\lim }_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1$

【证明】
(1)$\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cos x}=1\times \frac{1}{\cos x}=1$(证$\frac{\sin x}{x}$时证明过${\lim }_{x\to 0}\cos x=1$)

(2)$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}$

(3)$令\arctan x=t,x=\tan t$
原式$=\frac{t}{\tan t}=1$

5.2、单调有界准则

(1)、准则：单调有界数列必有极限
即：单调增上有界，单调减下有界的数列必有极限

我们从几何上来看是非常明显的，如果一个数列是单调增的那么它一定下有界，此时只要它上有界那么就一定有极限，反过来单减也是一个道理

5.2.1、第二重要极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$$
【证明第二重要极限的存在性】
①首先我们需要证明这个极限是单增/单减的
把$n=1,n=2$分别带入初步判断为单增
现在就要证明${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n\le {\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$
其中，左边我们可以看成n个$(1+\frac{1}{n})$相乘
根据均值不等式
即：$$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}{\ge }^n\sqrt{a_1{a}_2{a}_3...a_n}$$
得：$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le (\frac{n+1}{n}{)}^n$
此时我们再在左边式子乘1:$(1+\frac{1}{n}{)}^n\times 1\le (\frac{n+1+1}{n+1}{)}^{n+1}$
而$(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}=(\frac{n+1+1}{n+1}{)}^{n+1}$
$\therefore (1+\frac{1}{n}{)}^n\le (1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$
②然后我们再证明上有界
$(1+\frac{1}{n}{)}^n=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})...(1+\frac{1}{n})\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\le (\frac{n+1+1}{n+2}{)}^{n+2}=1$
即$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le 4$
根据①②证得${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$极限存在
因为这个极限存在，我们把第二重要极限的极限记为e，后来就得到了我们熟知的无理数e
而第一和第二重要极限不仅仅数列极限适用，而且函数极限也同样适用
证明：${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$
证明这个函数我们需要用到取整函数，并用到以下结论
$x-1\le [x]\le x$
思路：通过这个不等式，我们把这个函数进行缩小和放大再适用夹逼准则即可证明
$(1+\frac{1}{[x]+1}{)}^{[x]-1}=e^{\frac{[x]-1}{[x]+1}}=e\le (1+\frac{1}{x}{)}^x\le (1+\frac{1}{[x]}{)}^{[x+1]}=(1+\frac{1}{[x]}{)}^{[x]}(1+\frac{1}{[x]})=e$
①即${\lim }_{x\to +\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$
此时再证明$x\to -\infty$,$(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$
令$t=-x,$得：${\lim }_{t\to +\infty }(1-\frac{1}{t}{)}^{-t}=(\frac{t}{t-1}{)}^t=(1+\frac{1}{t-1}{)}^{t-1}(1+\frac{1}{t-1})=e$
②即${\lim }_{x\to -\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

此时再通过换元法可以得出以下结论
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

6、函数的连续性与间断点

6.1、函数的连续性

6.1.1、定义

给一个$x_0$改变量记为$\Delta x$,当$x_0=x_0+\Delta x$时，函数值的改变量记为$\Delta y,而\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,其中这里的$x$为定值，而$\Delta x$是变化的,如图($y=\frac{1}{x}$):
而当图上的$\Delta x\to 0$时，$\Delta y\to 0$则说明这个函数是连续的
连续定义：若$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0,也就是:\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=0$$
则说明$y=f(x_0)$这一点上是连续的
而如果我们把$x_0+\Delta x$看成一个整体换成$x$表示，上述式子还能写成$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-f(x_0)=0,也就是:\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

6.1.2、左连续右连续

左连续：${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$
右连续：${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$

函数连续和左连续右连续的关系：
连续其实讨论的是$x_0$ 左右两边的极限值与这一点的函数值之间的关系
也就是说，连续其实就包含了左连续与右连续，就有以下结论
$$连续\Lleftarrow \Rrightarrow 左连续+右连续$$

区间连续概念：
(1)、对于$f(x)$在开区间$(a,b)$连续，仅要求区间内部所有点连续，a和b两个端点不要求
(2)、对于$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，要求区间所有点都连续并左端点右连续，右端点左连续

结论：$\sin x$在区间$(-\infty ,+\infty )上连续$

【证明】
证明$\sin x$在区间$(-\infty ,+\infty )$连续
即证明：$\forall x_0\in (-\infty ，+\infty )，{\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=\sin (x_0+\Delta x)-sin(x_0)=0$
和差化积：$\sin (x_0+\Delta x)-\sin (x_0)=2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \frac{2x_0+\Delta x}{2}$
$\because \Delta y\to 0\sim |\Delta y|\to 0$
$\therefore |\Delta y|=|\sin (x_0+\Delta x)-\sin (x_0)|=2|\sin \frac{\Delta x}{2}||\cos \frac{2x_0+\Delta x}{2}|\le 2\sin \frac{|\Delta x|}{2}$
$\because x\in (0,\frac{\pi }{2}),\sin x<x<\tan x$
$\therefore 2\sin \frac{|\Delta x|}{2}<2\frac{|\Delta x|}{2}\to 0$
$\therefore \Delta y\to 0$
证毕

6.2、函数的间断点

如果一个函数在某点上非连续，那么它就是间断的
$f(x)$在$x_0$处连续的条件：
1、$f(x)$在$x_0$有定义
2、${\lim }_{x\to x_0}f(x)存在$
3、${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

根据一个函数不满足上面三个条件(最少一个)，我们可以划分出不同类型的间断点

【间断点】
首先，讨论间断点的要求是：$f(x)$在$x_0$去心邻域有定义，因为如果f(x)在去心邻域无定义的话讨论连续间断也就无意义了例如：$\ln x$讨论它在$x=-1$处的间断就无意义

间断点的类型我们根据左右极限是否存在可以分为：
1、第一类间断点：左右极限存在
2、第二类间断点：左右极限不存在

6.2.1、第一类间断点

可去间断点：左右极限存在并且相等，但是函数值不等于极限值的点

可去间断点只会出现两种情况：
1)、这一点的函数值不存在
2)、这一点的函数值不等于极限值

我们拿2举例
例如：$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2& x\ne 0\\ 2& x=0\end{array}$

跳跃间断点：左右极限存在但不相等

例如：$f(x)=\{\begin{array}{ll}2& x\ge 0\\ x& x<0\end{array}$

6.2.2、第二类间断点

第二类间断点是左右极限不存在的间断点

我们都知道，左右极限不存在的原因有两种，一种是趋近于$\infty$，另一种是左右极限虽然有界，但不趋近于一个确定的值
而这两种原因，也就决定了第二类间断点分为两类
1、无穷间断点：左右极限至少有一个趋近于$\infty$

例如：$y=\frac{1}{x}$

2、振荡间断点：左右极限至少有一个极限虽然不趋近$\infty$，但不存在

例如：$y=\sin \frac{1}{x}$

7、连续函数的运算与初等函数的连续性

7.1、连续函数和、差、积、商的连续性

定理：设函数$f(x),g(x)$在$x_0$连续
则$f(x)\pm g(x),f(x)\times g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\ne 0)$都在$x_0$连续

【证明】
1、证明$f(x)\pm g(x)$在$x_0$连续，即证明：
${\lim }_{x\to x_0}f(x)+g(x)=f(x_0)+g(x_0)$
${\lim }_{x\to x_0}f(x)\pm g(x)={\lim }_{x\to x_0}f(x)\pm {\lim }_{x\to x_0}g(x)$
$=f(x_0)+g(x_0)$
证毕

而其他的根据极限的四则运算同样的方法既能证明
而此时我们有了这个结论后，就可以尝试证明以下的函数的连续

证明：$\tan x,\cot x$在其定义域内是连续的

首先：我们前面证明了$\sin x$在其定义域内是连续的
$\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$所以$\cos x$在其定义域内连续
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$根据连续商的法则得$\tan x$在定义域内连续
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$根据连续商的法则得$\cot x$在其定义域内连续

7.2、反函数的连续性

定理：设$f:[a,b]\to R$是严格单调增(减)的连续函数.则其反函数在$[f(a),f(b)]/([f(b),f(a)])，$上也是连续的

如图$(y=e^x):$

如图$y=e^x$在$[a,b)]$是连续的
即它的反函数$x=f^{-}(y)=\ln y$在$[f(a),f(b)]$上也是连续的

根据这个定理，我们可以得出以下初等函数在其定义域内都是连续的
$\arcsin x,\arccos x,\arctan x,arccot$ $x$

7.3、复合函数的连续性

定理：设$y=f(g(x))$是由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，若$g(x)$在$x_0$处连续,$f(u)$在$u_0$连续，$u_0=g(x_0),$则$f(g(x))$在$x_0$处连续
即：$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=g(x_0)且\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=f(u_0)且u_0=g(x_0)$$
则${\lim }_{x\to x_0}f(g(x))=f(g(x_0))$

【证明】
$\because {\lim }_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)=u_0$
${\lim }_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$
根据复合函数极限定理：${\lim }_{x\to x_0}f(g(x))=f(g(x_0))$
证毕

7.4、初等函数的连续性

定理：基本初等函数在其定义域内都是连续的，初等函数在其定义区间内是连续的
定义区间：包含在定义域内的区间都叫做定义区间（不唯一）

为什么要说明是定义区间呢？定义域不行吗？
反例：$y=\sqrt{\cos x-1}$,这个函数在定义域内是一个一个的点，仅当$\cos x=1$时有定义，但它连续吗？
显然不连续，那么初等函数在定义域内连续就是错误的
而定义区间是一段段的区间不能是点，所以这就限制了上述情况

${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
要证明这个式子我们先要知道一个结论：
若$f(x_0)$在$x_0$处连续，则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f({\lim }_{x\to x_0}x)$
【证明】
${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}$
$={\lim }_{x\to 0}\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}$
$=\ln ({\lim }_{x\to 0}(1+x){)}^{\frac{1}{x}}=\ln e=1$
证毕

${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

【证明】
令$a^x-1=t$
原式$={\lim }_{t\to 0}\frac{t\ln a}{\ln (1+t)}=\ln a$
证毕

上述式子若$a=e$，则${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

8、闭区间上连续函数的性质

8.1、有界性与最大最小值定理

最大最小值定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值

而因为有最大和最小值，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上一定是有界的

有界性定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有界

8.2、零点定理与介值定理

零点定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0,,$则$\exists \xi \in (a,b)$使$f(\xi )=0$

上述定理从几何上看很明显
如图：$y=\sin x$

介值定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b),\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值,将至少存在一个$\xi \in (a,b)$使$f(\xi )=\mu$

如图：
我们可以仔细想想，其实介值定理是可以推出零点定理的，因为两个端点$f(a),f(b)$异号，而0就是$f(a)与f(b)$之间的一个$\mu$

我们再仔细看看上图可以得出如下推论：
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上能取得介于它的最大值M与最小值m之间的任何值