经典汉诺塔问题

汉诺塔问题是经典的可以用递归解决的问题。

汉诺塔(Hanoi)游戏规则如下：在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。计算需要移动的次数。

我们先来对汉诺塔的步数进行一下递推。

对于$n$个盘子，我们可以把它分成$n-1$个盘子和最后一个大盘子。设$F(n)$为移动所需步数,那么对于$n$个盘子来说所做的事情就是

1. 将$n-1$个盘子从A柱借助C柱移动到B柱,这一过程移动的步数为$F(n-1)$
2. 将大盘子从A柱直接移动到C柱，此时需要1步。
3. 将$n-1$个盘子从B柱借助A柱移动到C柱，此时需要的步数仍为$F(n-1)$。

综合以上分析，$F(n)=2F(n-1)+1$。对两边同时加上1可以凑成一个等比数列，然后就可以求出其通项公式。

完整C++代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

void Hanoi(char a, char b, char c, int n) // 把n个盘从a经过b移动到c
{
  if (n == 0)
    return;
  Hanoi(a, c, b, n - 1);
  cout << a << " -> " << c << endl;
  Hanoi(b, a, c, n - 1);
}
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  Hanoi('a', 'b', 'c', n);
}

如果要计算移动的次数可以定义一个全局变量ans来保存：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int ans = 0;
void Hanoi(char a, char b, char c, int n) // 把n个盘从a经过b移动到c
{
  if (n == 0)
    return;
  Hanoi(a, c, b, n - 1);
  ans++;
  cout << a << " -> " << c << endl;
  Hanoi(b, a, c, n - 1);
}
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  Hanoi('a', 'b', 'c', n);
  cout << ans;
}

输入：3
输出：

改后的汉诺塔问题

改进的汉诺塔问题如下：

汉诺塔(Hanoi)游戏规则如下：在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，且限定圆盘只能够移动到相邻的柱子，即A柱子上的圆盘只能够移动到B，B柱子上的圆盘只能够移动到A或者C，C同理。并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。计算需要移动的次数。

我们先来对改后的汉诺塔的步数进行一下递推。

对于$n$个盘子，我们还是可以把它分成$n-1$个盘子和最后一个大盘子。设$F(n)$为移动所需步数,那么对于$n$个盘子来说所做的事情就是

1. 将$n-1$个盘子从A柱借助B柱移动到C柱，这一过程移动的步数为$F(n-1)$
2. 将大盘子从A柱直接移动到B柱，此时需要1步。
3. 将$n-1$个盘子从C柱借助B柱移动到A柱，此时需要的步数仍为$F(n-1)$。
4. 将大盘子从B柱直接移动到C柱，此时需要1步。
5. 将$n-1$个盘子从A柱借助B柱移动到C柱，此时需要的步数仍为$F(n-1)$。

综合以上分析，$F(n)=3F(n-1)+2$。对两边同时加上1可以凑成一个等比数列，然后就可以求出其通项公式。

完整C++代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

void Hanoi(char a, char b, char c, int n) // 把n个盘从a经过b移动到c
{
  if (n == 0)
    return;
  Hanoi(a, b, c, n - 1);
  cout << a << " -> " << b << endl;
  Hanoi(c, b, a, n - 1);
  cout << b << " -> " << c << endl;
  Hanoi(a, b, c, n - 1);
}
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  Hanoi('a', 'b', 'c', n);
}

如果要计算移动的次数可以定义一个全局变量ans来保存：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int ans = 0;
void Hanoi(char a, char b, char c, int n) // 把n个盘从a经过b移动到c
{
  if (n == 0)
    return;

  Hanoi(a, b, c, n - 1);
  ans++;
  cout << a << " -> " << b << endl;
  Hanoi(c, b, a, n - 1);
  ans++;
  cout << b << " -> " << c << endl;
  Hanoi(a, b, c, n - 1);
}
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  Hanoi('a', 'b', 'c', n);
  cout << ans;
}

输入：3
输出：