前言
本系列文章【
数据结构】默认会使用 C/C++ 进行设计实现！其他语言的实现方式请参照分析设计思路自行实现！
注[1]：文章属于学习总结，相对于课本教材而言，不具有相应顺序性！（可在合集中自行查看是否存在相应文章）！
注[2]：如有问题或想让博主进行思路分析的内容，可在后台私信！
文章目录
- 前言
- 完全二叉树的认识
- 堆的基本认识
- 堆的性质 及 大小根堆【重要】
- 堆的结构及其顺序结构（特点）
- 堆的结构认识
- 顺序存储结构
- 向上调整算法
- 算法基本思路（以小根堆为例）：
- C/C++ 语言代码设计
- 向下调整算法
- 算法基本思路（以大根堆为例）：
- C/C++ 语言代码设计
完全二叉树的认识
- 完全二叉树的定义：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i （ 1 <= i <= n）与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置完全相同，则这颗二叉树称为：完全二叉树。
- 完全二叉树的简单认识（白话描述特点）：除了最底层，其他层都是满节点（构成一个满二叉树），最底层一定满足从左到右不含空叶结点的二叉树！
堆的基本认识
- 堆（Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构，是最高效的优先级队列。
- 堆通常是一个可以被看作一棵
完全二叉树的数组对象。
上述图片中的第二行式子，描述的就是：
堆的特性：堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值！
堆的性质 及 大小根堆【重要】
-
堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值！ -
堆总是一棵完全二叉树！ -
大根堆：即根节点的值最大！ -
小根堆：即根节点的值最小！
堆的结构及其顺序结构（特点）
堆的结构认识
- 在逻辑上，堆的性质之一，堆一定是一个完全二叉树！
- 在存储结构上，由于完全二叉树的层序”排列特点“，我们一般都是使用数组或其他顺序存储结构来作为存储对象，来模拟堆！
顺序存储结构
由完全二叉数的图示结构，不难看出，如果按照层序遍历，将其排列成一行，可以形成一个不含空结点（数值）的数组结构！
如上图所示，将根节点存储在索引值为：0 的位置！（有如下特点！）
若索引为 i 的结点存在左右子结点，则：
左子树结点索引：2 * i + 1右子树结点索引：2 * i + 2
若已知：左 / 右子结点的索引值为：n，则：
父节点索引为：(n-1) / 2
向上调整算法
算法基本思路（以小根堆为例）：
- 找到不符合堆性质的结点！记为：目标节点！如上图中的：0。
- 将
目标结点与其父节点进行值对比！
- 若目标结点值
小于父节点的值，则进行父子交换！ - 若目标结点的值比其父结点的值大，则停止向上调整，此时该树已经是小堆了。
如上图，流程说明：
- 第一次，0 < 8，交换 0 与 8，此时有原来 8 位置上的就是原来的目标值！
- 第二次，0 < 4，交换 0 与 4，
…
如上图中，目标值 0 一定是向上调整到整棵树的根节点位置！
交换中的索引值确认方式：
- 若已知：左 / 右子结点的索引值为：n，则：
- 父节点索引为：(n-1) / 2
C/C++ 语言代码设计
- 由于 C 语言中没有容器，故我们需要动态申请一块内存作为数组存储我们的数据元素（动态内存申请部分将在后文实现）。
- C++ 可以直接使用 vector 来作为容器存储数据。
void Swap(DataType* x, DataType* y)
{
HPDataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
/* 向上调整算法 */
// void AdjustUp(vector<DataType>& vec, int idx) // C++
void AdjustUp(DataType* vec, int idx)
{
int parent = (idx-1) / 2; // 记录当前结点的父节点位置！
while(idx > 0){
// 循环条件：目标节点的位置必须合法！
// 注：当目标节点索引为 1 或 2 时，若发生交换则一定会被调整到 0 处！
// 小根堆为例：特点：父小于子！
if( vec[idx] < vec[parent] ){
Swap(&vec[idx], &vec[parent]); // 值交换
idx = parent; // 更新目标值的索引！
parent = (idx-1) / 2; // 更新父节点的索引！
}else break;
}
}
向下调整算法
算法基本思路（以大根堆为例）：
向下调整算法需要满足一个前提：
若想将其调整为小堆，那么根结点的左右子树必须都为小堆。
若想将其调整为大堆，那么根结点的左右子树必须都为大堆。
- 找到不符合堆性质的结点！记为：目标节点！如上图中的：20。
- 将
目标结点与其较大子节点进行值对比！（大根堆）；将目标结点与其较小子节点进行值对比！（小根堆）。 - 以大根堆为例，若目标结点值（父）
小于较大子节点的值，则进行父子交换！
使用堆的向下调整算法，最坏的情况下（即一直需要交换结点），需要循环的次数为：h - 1次（h为树的高度）。而 h = log2(N+1)（N为树的总结点数）。所以
堆的向下调整算法的时间复杂度为：O(logN) 。
如上图，流程说明：
- 第一次，9 < 36，较大值为：36！20 < 36，交换 20 与 36，此时有原来 36 位置上的就是原来的目标值！
- 第二次，-54 < 10，较大值为：10！20 > 10，调整结束！
交换中的索引值确认方式：
- 若已知：父结点的索引值为：n，则：
- 左子树结点索引：2 * n + 1
- 右子树结点索引：2 * n + 2
C/C++ 语言代码设计
void Swap(DataType* x, DataType* y)
{
HPDataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
/* 向下调整算法：大根堆 */
// void AdjustUp(vector<DataType>& vec, int idx) // C++
// 参数：size：数组的大小
void AdjustDown(DataType* vec,int size, int idx){
int child = idx*2+1; // child 表示子树索引！
// 此处假设较大值为：左子节点
while( child < size ){
// 判断 左右子结点的大小关系
// 大根堆：选较大的
// 小根堆：选较小的
if( child+1 < size && vec[child+1] > vec[child] ) child++;
if( vec[idx] < vec[child]){
//将父结点与较大的子结点交换
Swap(&vec[child], &vec[idx]);
//继续向下进行调整
idx= child;
child = 2 * idx+ 1;
}else break;
}
}
待更新！
