循环冗余编码（CRC编码）与海明码

一.环冗余编码

1.循环冗余编码的形成

生成多项式：G=1011
表示成生成多项式为G(x)=$X^3+X+1$

示例：
假设信息字节为：F=1001010
选取生成多项式（默认）G=1011

• 将F左移l-1位，题设l为4位（l为生成多项式位数）
  形成：F‘=1001010 000

• 进行运算，用数据F除生成多项式得到余数 111
  

• 用数据码F减去余数 1001010 000 -111（采用模2的减法）= 1001010 111
  得到发送端需要的编码字M：1001010 111（其实等效于直接将余数拼接到数值位尾部）

2.循环冗余编码的校验与纠错

纠错方式，用接受到的数据去除生成多项式，如果余数仍为000，则没有错误，否则产生错误

校验错误位数的个数：$2^n-1$
n为余数的位数，
其中全000表示没有错，其他001~111表示第i-1位出错
i为XXX表示的真值，出错位置从最低位0位起始

适用范围：突发性错误，磁盘存储器，光盘存储器，网络通信等

二.海明码

1.编码设计

2.编码规则

在2的整数次幂（从0次幂开始）的位置放入奇偶校验码（位置从1起始）
将数据位按顺序依次填入除上面要填校验码位置外的位置

将每一个数据位的位置拆成2的整数次幂之和的形式，例如
11=1+2+8 ，则需要被2的0 1 3 次幂的奇偶校验码检验

示例：

奇偶校验码检验范围可以归结为：第i位的检验码从第i位开始，检验i位隔i位

3.纠错方法

假设在上述例子中第6位引入一个错误（位置从1开始）

用各位的奇偶校验码进行检验，检验正确的奇偶校验码得0，失败的得1，得到校验结果为：0110 校验结果的真值就是出错的位置，即第6位。