数据结构和算法（8）：搜索树（二叉搜索树和AVL树）

查找

所谓的查找或搜索，指从一组数据对象中找出符合特定条件者，这是构建算法的一种基本而重要的操作。其中的数据对象，统一地表示和实现为 词条（entry） 的形式；不同词条之间，依照各自的 关键码（key） 彼此区分。

循关键码访问： 查找的过程与结果，仅仅取决于目标对象的关键码。

词条

template <typename K, typename V> struct Entry { //词条模板类
	K key; V value; //关键码、数值
	Entry ( K k = K(), V v = V() ) : key ( k ), value ( v ) {}; //默认构造函数
	Entry ( Entry<K, V> const& e ) : key ( e.key ), value ( e.value ) {}; //基于克隆的构造函数
	bool operator< ( Entry<K, V> const& e ) { return key < e.key; } //比较器：小于
	bool operator> ( Entry<K, V> const& e ) { return key > e.key; } //比较器：大于
	bool operator== ( Entry<K, V> const& e ) { return key == e.key; } //判等器：等于
	bool operator!= ( Entry<K, V> const& e ) { return key != e.key; } //判等器：不等于
}; //得益于比较器和判等器，从此往后，不必严格区分词条及其对应的关键码

词条对象拥有成员变量key和value。前者作为特征，是词条之间比对和比较的依据；后者为实际的数据。

任意词条之间可相互比较大小，是有序向量得以定义，以及二分查找算法赖以成立的基本前提。

二叉搜索树

二叉搜索树中，处处都满足顺序性：任一节点r的左（右）子树中，所有节点（若存在）均不大于（不小于）r ；
~~假定所有节点互不相等~~ ，回避边界情况：任一节点r 的左（右）子树中，所有节点（若存在）均小于（大于）r。
在实际应用中，对相等元素的禁止既不自然也不必要。

包含不同的 $n$ 个节点可以构成的不同二叉搜索树有 $C a t a l an (n) = (2 n)! / [(n + 1)! n!]$ 棵。

任何一棵二叉树是二叉搜索树，当且仅当其中序遍历序列单调非降。
在这里插入图片描述

BST 模板类

#include "../BinTree/BinTree.h"	//引入BinTree

template <typename T> class BST : public BinTree<T>{ //由BinTree派生BST模板类
protected:
	BinNodePosi(T)_hot; //“命中”节点的父亲
	BinNodePosi(T) connect34 (//按照“3＋4”结构，联接3个节点及四棵子树
		BinNodePosi(T)，BinNodePosi(T)，BinNodePosi(T),
		BinNodePosi(T)，BinNodePosi(T)，BinNodePosi(T)，BinNodePosi(T));
	BinNodePosi(T) rotateAt ( BinNodePosi(T) x );//对x及其父亲、祖父做统一旋转调整
public: //基本接口︰以virtual修饰，强制要求所有派生类(BST变种）根据各自的规则对其重写
	virtual BinNodePosi(T) &search ( const T&e );//查找
	virtual BinNodePosi(T) insert ( const T&e );//插入
	virtual bool remove ( const T&e );//删除
};

BST：查找

采用了减而治之的思路与策略，其执行过程可描述为：从树根出发，逐步地缩小查找范围，直到发现目标（成功）或缩小至空树（失败）

查找过程中，一旦发现当前节点为NULL，即说明查找范围已经缩小至空，查找失败；否则，视关键码比较结果，向左（更小）或向右（更大）深入，或者报告成功（相等）。

template <typename T> //在以v为根的（AVL、SPLAY、rbTree等）BST子树中查找关键码e
static BinNodePosi(T) & searchIn ( BinNodePosi(T) & v, const T& e, BinNodePosi(T) & hot ) {
	if ( !v || ( e == v->data ) ) return v; //逑弻基：在节点v（或假想的通配节点）处命中
	hot = v; //一般情况：先记下当前节点，然后再
	return searchIn ( ( ( e < v->data ) ? v->lc : v->rc ), e, hot ); //深入一层，递归查找
} //返回时，返回值指向命中节点（或假想的通配哨兵），hot指向其父亲（退化时为初始值NULL）

template <typename T> BinNodePosi(T) & BST<T>::search ( const T& e ) //在BST中查找关键码e
{ return searchIn ( _root, e, _hot = NULL ); } //返回目标节点位置的引用，以便后续插入、删除操作

若查找成功，则searchIn()以及search()的返回值都将如图(a)所示，指向一个关键码为e且真实存在的节点；若查找失败，则返回值的数值虽然为NULL，但是它作为引用将如图(b)所示，指向最后一次试图转向的空节点。
在这里插入图片描述
在调用searchIn()算法之前，search()接口首先将内部变量_hot初始化为NULL，然后作为引用型参数hot传递给searchIn()。在整个查找的过程中，hot变量始终指向当前节点的父亲。因此在算法返回时，按照如上定义，_hot亦将统一指向“命中节点”的父亲。

_hot节点是否拥有另一个孩子，与查找成功与否无关。查找成功时，节点e可能是叶子，也可能是内部节点；查找失败时，假想的哨兵e等效于叶节点，但可能有兄弟。

复杂度
总体所需时间应线性正比于查找路径的长度，或最终返回节点的深度：最好为O(1)，最坏为O(n).
若要控制单次查找在最坏情况下的运行时间，须从控制二叉搜索树的高度入手。

BST：插入

为了在二叉搜索树中插入一个节点，首先需要利用查找算法search()确定插入的位置及方向，然后才能将新节点作为叶子插入。

template <typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::insert ( const T& e ) { //将关键码插入BST树中
	BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( x ) return x; //确认目标不存在（留意对_hot癿设置）
	x = new BinNode<T> ( e, _hot ); //创建新节点x：以e为关键码，以_hot为父
	_size++; //更新全树规模
	updateHeightAbove ( x ); //更新x及其历代祖先的高度
	return x; //新插入的节点，必为叶子
} //无论e是否存在于原树中，返回时总有x->data == e

首先调用search()查找e。若返回位置x非空，则说明已有雷同节点，插入操作失败。否则，x必是_hot节点的某一空孩子，于是创建这个孩子并存入e。此后，更新全树的规模记录，并调用updateHeightAbove()更新x及其历代祖先的高度。
按照以上实现方式，无论插入操作成功与否，都会返回一个非空位置，且该处的节点与拟插入的节点相等。如此可以确保一致性，以简化后续的操作。

复杂度
节点插入操作所需的时间，主要消耗于对算法search()及updateHeightAbove()的调用。后者与前者一样，在每一层次至多涉及一个节点，仅消耗O(1)时间，故其时间复杂度也同样取决于新节点的深度，在最坏情况下不超过全树的高度。

BST：删除

为从二叉搜索树中删除节点，首先也需要调用算法BST::search()，判断目标节点是否的确存在于树中。若存在，则需返回其位置，然后方能相应地具体实施删除操作。

单分支

在这里插入图片描述
若欲删除节点69，需首先通过search(69)定位待删除节点（69）。因该节点的右子树为空，故只需如图(b)所示，将其替换为左孩子（64），则拓扑意义上的节点删除即告完成。
当然，为保持二叉搜索树作为数据结构的完整性和一致性，还需更新全树的规模记录，释放被摘除的节点（69），并自下而上地逐个更新替代节点（64）历代祖先的高度。注意，首个需要更新高度的祖先（58），恰好由_hot指示。

双分支

设拟再删除二度节点36。如图(b)所示，首先调用BinNode::succ()算法，找到该节点的直接后继（40）。然后，只需如图©所示交换二者的数据项，则可将后继节点等效地视作待删除的目标节点。不难验证，该后继节点必无左孩子，从而相当于转化为此前相对简单的情况。于是最后可如图(d)所示，将新的目标节点（36）替换为其右孩子（46）。
请注意，在中途互换数据项之后，这一局部如图( c )所示曾经一度并不满足顺序性。但这并不要紧–不难验证，在按照上述方法完成整个删除操作之后，全树的顺序性必然又将恢复。
同样地，除了更新全树规模记录和释放被摘除节点，此时也要更新一系列祖先节点的高度。不难验证，此时首个需要更新高度的祖先（53），依然恰好由_hot指示。

remove() 删除关键码

1 template <typename T> bool BST<T>::remove ( const T& e ) { //从BST树中删除关键码e
2 BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( !x ) return false; //确荏目标存在（留意_hot癿设置）
3 removeAt ( x, _hot ); _size--; //实施删除
4 updateHeightAbove ( _hot ); //更新_hot及其历代祖先的高度
5 return true;
6 } //删除成功与否，由返回值指示

首先调用search()查找e。若返回位置x为空，则说明树中不含目标节点，故删除操作随即可以失败返回。否则，调用removeAt()删除目标节点x。同样，此后还需更新全树的规模，并调用函数updateHeightAbove(_hot)，更新被删除节点历代祖先的高度。

/*******************************************容*********容************************容***********
* BST节点删除算法︰删除位置x所指的节点（全局静态模板函数，适用于AVL、Splay、RedBlack等各种BST )
*目标x在此前经查找定位，并确认非NULL，故必删除成功;与searchIn不同，调用之前不必将hot置空
*返回值指向实际被删除节点的接替者，hot指向实际被删除节点的父亲——二者均有可能是NULL
*************************************牢*容**牢****水*容容容***水水水容容容*容容容容容容容容容容容容容容容容容字米林容容容容容**/
template <typename T>
static BinNodePosi(T) removeAt ( BinNodePosi(T) & x，BinNodePosi(T) & hot ) {
	BinNodePosi(T) w = x;	//实际被摘除的节点，初值同x
	BinNodePosi(T) succ = NULL;//实际被删除节点的接替者
	if (!HasLChild ( *x ) )	//若*x的左子树为空，则可
		succ = x = x->rc; //直接将*x替换为其右子树
	else if ( ! HasRChild (*x ) )	//若右子树为空，则可
		succ = x = x->lc; //对称地处理——注意∶此时succ != NULL
	else {	//若左右子树均存在，则选择x的直接后继作为实际被摘除节点，为此需要
		w = w->succ(); //（在右子树中)找到*x的直接后继*w
		swap ( x->data，w->data );//交换*x和*w的数据元素
		BinNodePosi(T) u = w->parent;
		( ( u == x ) ? u->rc : u->lc ) = succ = w->rc;//隔离节点*w
		}
	hot = w->parent;//记录实际被删除节点的父亲
	if ( succ ) succ->parent = hot; //并将被删除节点的接替者与hot相联
	release ( w->data ); release ( w ); return succ;//释放被摘除节点，返回接替者
}

复杂度
删除操作所需的时间，主要消耗于对search()、succ()和updateHeightAbove()的调用。在树中的任一高度，它们至多消耗O(1)时间。故总体的渐进时间复杂度，亦不超过全树的高度。

平衡

search()、insert()和remove()等主要接口的运行时间，均线性正比于二叉搜索树的高度。
在最坏情况下，二叉搜索树可能彻底地退化为列表，此时的查找效率甚至会降至O(n)，线性正比于数据集的规模。
因此，需要控制树高。

任意的n个互异关键码，都可以构成n!种全排列。若各排列作为输入序列的概率均等，则只要将它们各自所生成二叉搜索树的平均查找长度进行平均，即可在一定程度上反映二叉搜索树的平均查找性能。可以证明，在这一随机意义下，二叉搜索树的平均高度为O(logn)。
假定n个互异节点同时给定，然后在遵守顺序性的前提下，随机确定它们之间的拓扑联接。如此，称二叉搜索树由这组节点“随机组成”。由n个互异节点组成的二叉搜索树，总共可能有(2n)!/n!/(n + 1)!棵。若这些树出现的概率均等，则通过对其高度做平均可知，平均查找长度为 $O(\sqrt n)$ 。

理想平衡与适度平衡

既然二叉搜索树的性能主要取决于高度，故在节点数目固定的前提下，应该尽可能降低高度。相应地，应尽可能使兄弟子树的高度彼此接近，即全树尽可能地平衡。
包含n个节点的二叉树，高度不可能小于 $log_2n]$ 。若高度恰好为 $log_2n]$ ，则称作理想平衡树。

在渐进意义下适当放松标准之后的平衡性，称作适度平衡。

等价交换

若两颗二叉搜索树的中序遍历序列相同，则称它们彼此等价；反之亦然。
虽然等价二叉搜索树中各节点的垂直高度可能有所不同，但水平次序完全一致。

平衡二叉搜索树的适度平衡性，都是通过对树中每一局部增加某种限制条件来保证的。具有以下局部性：
1）经过单次动态修改操作后，至多只有O(1) 处局部不再满足限制条件
2）总可在O(log n)时间内，使这O(1)处局部（以至全树）重新满足限制条件。
意味着刚刚失去平衡的二叉搜索树，必然可以迅速转换为一棵等价的平衡二叉搜索树。等价二叉搜索树之间的上述转换过程，也称作等价变换。

旋转调整

最基本的修复手段，就是通过围绕特定节点的旋转，实现等价前提下的局部拓扑调整。

在这里插入图片描述
zig 旋转（顺时针旋转）：将X和v作为c的左子树、右孩子，Y和Z分别作为v的左、右子树。

在这里插入图片描述
zag旋转（逆时针旋转）：将v和Z作为c的左孩子、右子树，X和Y分别作为v的左、右子树。

zig和zag旋转均属局部操作，均属于等价操作，仅涉及常数个节点及其之间的联接关系，故均可在常数时间内完成。就与树相关的指标而言，经一次 zig 或 zag 旋转之后，节点v的深度加一，节点c的深度减一；这一局部子树（乃至全树）的高度可能发生变化，但上、下幅度均不超过一层。

AVL树

通过合理设定适度平衡的标准，并借助等价变换，~~AVL树（AVL tree）可以实现近乎理想的平衡~~ 。
在渐进意义下，AVL树可始终将其高度控制在O(logn)以内，从而保证每次查找、插入或删除操作，均可在O(logn)的时间内完成。

AVL树：重平衡

任一节点v的平衡因子定义为“其左、右子树的高度差”，即：balFac(v) = height(lc(v)) - height(rc(v))。
所谓AVL树，即平衡因子受限的二叉搜索树—其中各节点平衡因子的绝对值均不超过1。

AVL 模板类

#include "../BST/BST.h”	//基于BST实现AVL树
template <typename T> class AVL : public BST<T>{ //由BST派生AVL树模板类
public:
	BinNodePosi(T) insert ( const T& e );	//插入（重写)
	bool remove ( const T& e );	//删除（重写)
//BST::search()等其余接口可直接沿用
};

#define Balanced(x) ( stature( (x).lc ) == stature( (x).rc ) )//理想平衡条件
#define BalFac(x) ( stature( (x).lc ) - stature( (x).rc ) )//平衡因子
#define AvlBalanced(x)( ( -2<BalFac(x) ) && ( BalFac(x)<2 ) )//AVL平衡条件

在完全二叉树中各节点的平衡因子非0即1，故完全二叉树必是AVL树。

结论：高度为h的AVL树至少包含fib(h + 3) - 1个节点（数学归纳所得）
包含n个节点的AVL树的高度应为O(logn)。

失衡与重平衡

AVL 树经过插入、删除等动态修改操作之后，节点的高度可能发生变化，以致于不再满足AVL树的条件。
因节点x的插入或删除而暂时失衡的节点，构成失衡节点集，记作UT(x)。请注意，若x为被摘除的节点，则UT(x)仅含单个节点；但若x为被引入的节点，则UT(x)可能包含多个节点。

AVL树：插入

新引入节点x后，UT(x)中的节点都是x的祖先，且高度不低于x的祖父。以下，将其中的最深者记作g(x)。在x与g(x)之间的通路上，设p为g(x)的孩子，v为p的孩子。注意，既然g(x)不低于x的祖父，则p必是x的真祖先。
g(x)是因x的引入而失衡，则p和v的高度均不会低于其各自的兄弟。

借助如下代码所示的宏tallerChild()，即可反过来由g(x)找到p和v：

/**************************************************************************************
*在左、右孩子中取更高者
*在AVL平衡调整前，借此确定重构方案
*************************************************************************************/
#define tallerChild(x)( \
	stature( (x)->lc ) > stature( (x)->rc ) ?(x)->lc : (/*左高*/	\
	stature( (x)->lc ) < stature( (x)->rc ) ?(x)->rc : (/*右高*/	\
	IsLChild(* (x)) ? (x)->lc : (x)->rc	/*等高︰与父亲x同侧者(zIg-zIg或zAg-zAg )优先*/	\
) \
) \

单旋

在这里插入图片描述
做逆时针旋转zag(g(x))，得到如图(b)所示的另一棵等价二叉搜索树。

双旋

在这里插入图片描述
节点插入后通过连续的两次旋转操作使AVL树重新平衡
此时，可先做顺时针旋转zig(p)，得到如图(b)所示的一棵等价二叉搜索树。再做逆时针旋转zag(g(x))，得到如图( c )所示的另一棵等价二叉搜索树。

实现

template <typename T> BinNodePosi(T) AVL<T>::insert ( const T& e ) {	//将关键码e插入AVL树中
	BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( x ) return x;//确认目标节点不存在
	BinNodePosi(T) xx = x = new BinNode<T> ( e,_hot ); _sizet+;//创建新节点x
//此时，x的父亲_hot若增高，则其祖父有可能失衡
	for ( BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent ) { //从x之父出发向上，逐层检查各代祖先g
		if ( !AvlBalanced ( *g ) ) { //一旦发现g失衡，则(采用“3＋4”算法）使之复衡，并将子树
			FromParentTo ( *g ) = rotateAt ( tallerChild ( tallerchild ( g ) ) );//重新接入原树
			break; //g复衡后，局部子树高度必然复原;其祖先亦必如此，故调整随即结束
		}else //否则( g依然平衡），只需简单地
			updateHeight ( g );//更新其高度（注意∶即便g未失衡，高度亦可能增加)
	}//至多只需一次调整﹔;若果真做过调整，则全树高度必然复原
	return xx;//返回新节点位置
}//无论e是否存在于原树中，总有AVL::insert(e)->data == e

无论单旋或双旋，经局部调整之后，不仅g(x)能够重获平衡，而且局部子树的高度也必将复原。这就意味着，g(x)以上所有祖先的平衡因子亦将统一地复原。换而言之，在AVL树中插入新节点后，仅需不超过两次旋转，即可使整树恢复平衡。

算法首先按照二叉搜索树的常规算法，在O(logn)时间内插入新节点x。既然原树是平衡的，故至多检查O(logn)个节点即可确定g(x)；如有必要，至多旋转两次，即可使局部乃至全树恢复平衡。
AVL树的节点插入操作可以在O(logn)时间内完成

AVL树：删除

与插入操作十分不同，在摘除节点x后，以及随后的调整过程中，失衡节点集UT(x)始终至多只含一个节点。而且若该节点g(x)存在，其高度必与失衡前相同。另外还有一点重要的差异是，g(x)有可能就是x的父亲。

与插入操作同理，从_hot节点出发沿parent指针上行，经过O(logn)时间即可确定g(x)位置。作为失衡节点的g(x)，在不包含x的一侧，必有一个非空孩子p，且p的高度至少为1。于是，可按以下规则从p的两个孩子（其一可能为空）中选出节点v：若两个孩子不等高，则v取作其中的更高者；否则，优先取v与p同向者（亦即，v与p同为左孩子，或者同为右孩子）。

单旋

在这里插入图片描述
(a)所示，由于在T3中删除了节点而致使g(x)不再平衡，但p的平衡因子非负时，通过以g(x)为轴顺时针旋转一次即可恢复局部的平衡。平衡后的局部子树如图(b)所示。

双旋

在这里插入图片描述
节点删除后通过两次旋转恢复局部平衡。
g(x)失衡时若p的平衡因子为-1，则经过以p为轴的一次逆时针旋转之后（图(b)），即可转化为图(a)。再以g(x)为轴顺时针旋转，即可恢复局部平衡（图( c )）。

在删除节点之后，尽管也可通过单旋或双旋调整使局部子树恢复平衡，但复平衡之后，局部子树的高就全局而言，依然可能再次失衡。这种由于低层失衡节点的重平衡而致使其更高层祖先失衡的现象，称作“失衡传播”
失衡传播的方向必然自底而上，而不致于影响到后代节点。

实现

template <typename T> bool AVL<T>::remove ( const T& e ) { //从AVL树中删除关键码e
	BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( !x ) return false;//确认目标存在（留意_hot的设置)
	removeAt ( x,_hot ); _size--;//先按BST规则删除之（此后，原节点之父_hot及其祖先均可能失衡)
	for ( BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent ) { //从_hot出发向上，逐层检查各代祖先g
		if ( !AvlBalanced ( *g ) )//一旦发现g失衡，则(采用“3＋4”算法）使之复衡，并将该子树联至
		g = FromParentTo ( *g ) = rotateAt ( tallerchild ( tallerChild ( g ) ) );//原父亲
		updateHeight ( g );//并更新其高度（注意:即便g未失衡，高度亦可能降低)
	}//可能需做O(logn)次调整——无论是否做过调整，全树高度均可能降低
	return true;//删除成功
}//若目标节点存在且被删除，返回true;否则返回false

较之插入操作，删除操作可能需在重平衡方面多花费一些时间。不过，既然需做重平衡的节点都是x的祖先，故重平衡过程累计只需不过O(logn)时间。
综合各方面的消耗，AVL树的节点删除操作总体的时间复杂度依然是O(logn)。

AVL树：(3+4)-重构

同样需要从刚发生修改的位置x出发逆行而上，直至遇到最低的失衡节点g(x)。于是在g(x)更高一侧的子树内，其孩子节点p和孙子节点v必然存在，而且这一局部必然可以g(x)、p和v为界，分解为四棵子树，将它们按中序遍历次序重命名为 T0 至 T3。
若同样按照中序遍历次序，重新排列g(x)、p和v，并将其命名为a、b和c，则这一局部的中序遍历序列应为：{T0 , a, T1 , b, T2 , c, T3}
将这三个节点与四棵子树重新“组装”起来，恰好即是一棵AVL树
在这里插入图片描述
这一理解涵盖了此前两节所有的单旋和双旋情况。相应的重构过程，仅涉及局部的三个节点及其四棵子树，故称作 “3 + 4”重构 。

/********************************************************************
*按照“3+4”结构联接3个节点及其四棵子树，返回重组之后的局部子树根节点位置（即b)
*子树根节点与上层节点之间的双向联接，均须由上层调用者完成
*可用于AVL和RedBlack的局部平衡调整
***********************************************************************/
template <typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::connect34 (
	BinNodePosi(T) a，BinNodePosi(T) b， BinNodePosi(T) c,
	BinNodePosi(T)T0，BinNodePosi(T)T1，BinNodePosi(T) T2，BinNodePosi(T) T3
) {
	a->lc = T0; if ( T0 ) T0->parent = a;
	a->rc = T1; if ( T1 ) T1->parent = a; updateHeight ( a );
	c->lc = T2; if ( T2 ) T2->parent = c;
	c->rc = T3; if ( T3 ) T3->parent = c; updateHeight ( c );
	b->lc = a; a->parent = b;
	b->rc = c; c->parent = b; updateHeight ( b );
	return b;//该子树新的根节点
}

利用以上connect34()算法，即可视不同情况，按如下具体方法完成重平衡：

/**********************************************************************
* BST节点旋转变换统一算法( 3节点＋4子树)，返回调整之后局部子树根节点的位置
*注意:尽管子树根会正确指向上层节点（如果存在），但反向的联接须由上层函数完成
*************************************************************************/
template <typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::rotateAt ( BinNodePosi(T)v ) { //v为非空孙辈节点
	BinNodePosi(T) p = v->parent;BinNodePosi(T) g = p->parent;//视v、 p和g相对位置分四种情况
	if ( IsLChild ( *p ) )/* zig */
		if ( IsLChild (*v ) ) {/* zig-zig*/
			p->parent = g->parent;//向上联接
			return connect34 ( v, p， g， v->lc， v->rc, p->rc, g->rc );
		}else { /* zig-zag */
			v->parent = g->parent;//向上联接
			return connect34 ( p, v，g，p->lc, v->lc， v->rc， g->rc );
	else/* zag */
		if ( IsRChild (*v ) ) {/* zag-zag */
			p->parent = g->parent;//向上联接
			return connect34 ( g, p, v, g->lc，p->lc，v->lc, v->rc );
		}else { /* zag-zig */
			v->parent = g->parent;//向上联接
			return connect34 ( g, v, p，g->lc， v->lc， v->rc，p->rc );
		}
}