AVL树
- AVL树的概念
- AVL树节点的定义
- AVL树的插入
- 源代码
AVL树的概念
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但是，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率就会变低。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一颗AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，他就是AVL树。如果他有n个皆点，其高度可保持在 O(log2n),搜索时间复杂度O(log2n)。
AVL树节点的定义
template <class K, class V>
class AVLNode
{
public:
AVLNode<K, V>* _letf;
AVLNode<K, V>* _right;
AVLNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)// 左孩子
, _right(nullptr)// 右孩子
, _parent(nullptr)// 父节点
, _kv(kv)// 平衡因子
,_bf(0)
{}
};
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索申诉，那么AVL树的插入过程可以分为两步。
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整平衡因子
如果这个节点新增在左，parent平衡因子减1；如果新增在右，parent平衡因子加1。如果更新后parent平衡因子为0，说明parent所在的子树的高度不变，不会影响祖先，不用再继续沿着到root的路径往上更新。更新后parent的平衡因子为0或者-1，说明parent所在的子树的高度变化，会影响祖先，需要沿着到root的路径往上更新。更新后parent平衡因子为2或者-2，说明parent所在子树的高度变化且不平衡，要对parent所在的子树进行旋转，让它平衡。
如何通过旋转，让这个树平衡呢？
右边高，就往左边旋转。
左边高，就往右边旋转。
旋转的时候要注意，保持他是搜索树，变成平衡树且降低这个子树的高度。
左单旋，右边高，强行往左边旋。
右单旋与左单旋道理一样。
如果出现了上图中的树，靠左单旋或者右单旋就不能到平衡的目的了。这种情况要靠双旋来解决。
就图中的树而言：先以7为旋转点，进行右单旋(此时6会变成7的右儿子，此时树的情况就是一条斜线)，在以5为旋转点，进行左单旋。就可以平衡了。
但这个时候需要对平衡因子做出调整，因为左右旋转之后会把平衡因子更新为0，所以到强行更改一下旋转部分的平衡因子。
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//...控制平衡
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else if (cur == parent->_parent)
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
// 再更新的过程中，父节点的平衡因子=0了，就结束循环。
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 子树不平衡了，需要旋转。
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}// 1.左单旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}// 2.右单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}// 3.右左单旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}// 4.左右单旋
break;
}
else
{
// 防止代码出bug，遇到平衡因子为>2的情况。
assert(false);
}
}
return true;
}
源代码
#pragma once
template <class K, class V>
class AVLNode
{
public:
AVLNode<K, V>* _left;
AVLNode<K, V>* _right;
AVLNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVLTree
{
public:
typedef AVLNode<K, V> Node;
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//...控制平衡
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else if (cur == parent->_parent)
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
// 再更新的过程中，父节点的平衡因子=0了，就结束循环。
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 子树不平衡了，需要旋转。
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}// 1.左单旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}// 2.右单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}// 3.右左单旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}// 4.左右单旋
break;
}
else
{
// 防止代码出bug，遇到平衡因子为>2的情况。
assert(false);
}
}
return true;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
int bf = curright->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = -1;
curright->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
parent->_bf =-1;
}
else if (bf == -1)
{
cur->_bf = 1;
curleft->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
parent->_right = curleft;
if (curleft)
curleft->_parent = parent;
cur->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent; // 如果parent是一颗局部子树，ppnode用来记录局部子树的父节点
parent->_parent = cur;
if (parent == _root) // 如果parent是根节点
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else // 如果parent是一颗局部的子树
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
parent->_left = curright;
if (curright)
curright->_parent = parent;
cur->_right = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
![[移动通讯]【Carrier Aggregation-4】【LTE-5】](https://img-blog.csdnimg.cn/37e788c414b1409ba0238af96663cb9b.png)
